定量分析中的估计与假设检验

定量分析中的估计与假设检验摘要：本文阐述了定量分析的估计类型、置信区间与置信度，以及假设检验，研究了区间估计与假设检验的内在联系及其区别，探讨了这两种方法的范围及应注意的问题。关键字：点估计；区间估计；假设检验0引言数理统计是具有广泛应用的数学分支，而区间估计与假设检验问题在其中占有很重要的地位。区间估计与假设检验作为两种重要的统计推断方法在农林科学、经济管理、医疗卫生、金融保险、证券投资、科学研究、工程技术、质量控制及国防研究、灾害防治等各方面应用日益广泛，其对决策的科学性的作用也为越来越多的人所认识。这两种方法都是通过对具体事物的随机抽样所得样本数据,用数理统计学的方法进行统计分析并作出判断的，掌握它们之间的关系、各自的适用范围和应用条件以及应注意的问题对作出正确的统计推断至关重要。在日常生活或工作中人们也不断地做各种各样的估计，例如一个违规乱穿马路的人，要估计垂直车道上的汽车离开路口的距离、速度，判断当时穿过马路有没有被车撞的可能，然后决定是立即过马路，还是等一等；如果立即过去，能不能慢慢走，还是要快快跑？管理工作中，需要事前做估计的事情也非常多，例如银行在贷款给某个企业的时候，对其还贷能力做出估计，然后决定是否给予贷款，贷给多少，还款期限，等等。人们总是在分析“过去资料”对现实或未来影响的基础上做出估计。简单的估计可以靠生活常识或经验，复杂的、受多因素影响的估计，特别是对那些信息不完全状况下的估计要依赖“统计推断”。1、估计类型有两种类型的估计，分别是点估计和区间估计。所谓点估计是估计某一个总体参数的具体值，例如：预计明年春运高峰火车旅客将达到1.85亿人次；今年八月份手机销量会增长10%,等等。点估计看似很方便、很明确，但是，由于点估计要求精确，所以估计的结果只有两种可能性：或者正确或者错误，大多数情况下，要点估计绝对正确几乎是不可能的，而如果使用区间估计，正确率就会大大提高。区间估计需要估计一个包含总体参数在内的区间，通常用区间的大小或者实际参数落在某个区间的概率两种方式表达区间估计的结果。如此把上面的例子改为：明年春运高峰旅客数估计在1.6亿人次到1.9亿人次之间。当旅客人次落在这个区间内，那么估计就是正确的；否则就是不正确的。显然，区间估计的正确率比点估计要高。任何一个统计量不可能都是“好的”。评价用作估计量的统计量好坏的标准有四条。（1）无偏性。即一个估计量在所估计的总体参数以上或以下的可能性（出现的频率或取值范围）相同。（2）有效性。无偏估计不是惟一的，许多个无偏估计中哪一个更好？应该选用平均误差或标准误差较小的那个。（3）一致性。如果随着容量增加，统计量的值越来越接近总体参数值，那么这样的统计量就是与总体参数一致的估计量。样本容量越大，估计量的一致性越可靠。（4）充分性。如果一个估计量能够为总体带来大量的有用信息，而没有其他的估计量能带来比它更多的有用信息，就称这个估计量是充分的。2、置信区间与置信度置信度是由置信区间给出的。如果由样本X1，K，X0所确定的两个统计量e.（x）=e.（x1，K，x0），i=i,2满足P{e1（x）<e<e2（x）}=1-a，则随机区间@（x））,e2（x））就是e的置信度为（i-a）的置信区间。置信区间@0））,e2（x））是一个随机区间，对每次抽样来说，它可能是不同的，有时包含参数e，有时不包含参数e。但对置信度为90%的置信区间而言，在ioo次抽样得到的ioo个随机区间中大约有90个包含参数e。由此可见，置信度是区间估计的可靠性度量。即置信度（1-a）表示该区间估计包含参数真值的可靠程度。可见，置信区间与置信度有密切相关。置信区间的长短，反映估计精度的高低。在实际问题中，通常是给定置信度，求尽可能短的置信区间。也可通过增加样本容量来提高区间估计的精度，使区间长度控制在某一范围之内。3、假设检验

假设检验又称统计检验，是统计假设检验的简称。检验的基本方法是：先假设总体具有某些统计特性，再根据样本的统计特性，验证总体是否具有这些特征。最常用“假设检验”验证一个均值的样本是不是抽样于均值为U的总体；也可以对两个均值不同的样本，判断是否来源于同一个总体。假设检验方法需要利用样本提供的信息构造适当的检验统计量，用来分析总体和样本之间或样本与样本之间的相关统计量（统计值）是否存在显著差异（这也是假设检验又称为显著性检验的原因），依此判断是不是有足够的理由相信原假设是可信的？检验的基本原理是：经过抽样分析，如果小概率事件发生，原假设检验的假设的正确性将受到怀疑。显著水平。是一个很小的值（譬如0.05），是检验者判断小概率事件是否发生的标准。假设检验分为三种情况：双侧检验Hi声=双侧检验Hi声=4.Hi*产尹单侧检验Hu: 4（或产=Q•Hm尸V奴假设检验的步骤可以归纳如下：第一步，做出原假设H。的备择假设H1，确定显著水平。；王一〃第二步，建立统计量Z=第三步，根据是双侧检验还是单侧检验，决定取Z还是取Z/2；在单侧检验时注意Z应用于左侧还是右侧；第四步，计算置信区间的上下限；第五步，根据显著水平，将计算得到的统计量与相应的临界值比较，做出接受还是拒绝H0的判断。4、 两类错误事实上，由于采用拒绝“小概率事件”的“概率反证法”确定对“原假设”接受还是拒绝，所以无论对原假设做出接受或拒绝的判断时，都不能保证百分之百正确。可能犯的错误有两类：第一类，“以真当假”的错误一一拒绝了原本为真的原假设。因为在原假设为真的前提下，大量重复抽样，出现个别的统计量落入拒绝区是可能发生的“小概率事件”。但是却根据小概率原理将原假设拒绝。当然出现小概率事件时，不可能知道这个拒绝是错误的，所以，拒绝原假设要冒一定的风险。第二类，“以假当真”的错误一一接受了原本应该拒绝的原假设。通常用P表示以假当真的概率。犯第一类错误的可能性与显著水平。有关。减少a，响应的拒绝域也随之减小，就可以少犯“以真当假”的错误；但是在减小a时，p就会增大，犯“以假当真”的第二类错误的概率就增加了。反之亦然：在减小6时a就会变大。所以在样本容量固定时，要同时减小犯第一和第二类错误是比较困难的。避免犯错误的方法通常选用经验积累的结果作原假设，一旦原假设被拒绝，可以及时采取调换样本再检验；也可以采用不同的显著水平做检验，当结果不相同时，增加样本容量再检验。常把增加样本的容量作为避免犯错误的主要方法。5、 参数的区间估计与假设检验的内在联系统计推断的基本问题分为两类:一类是参数估计问题，另一类是假设问题。参数区间估计与假设检验虽然提法不同，但解决问题的途径是相通的，统计推断的思想方法是一样的，都是基于数理统计理论的推断方法，都是基于样本信息来推断总体的性质，即用部分来推断总体。它们都是选取一个统计量，然后使这个统计量落在某个已知区间上的概率而由此得到结果。利用区间估计可以建立假设检验，反之亦然。

例1设总体X~N(M,。2),。2已知，若求p的区间估计，应选择统计U=— ~N(O,1)按置信度1-a确定一个大概率事件户｛|合T-口由此得到p的置信度为1-a的置信区间为:这个区间估计恰好是原假设H0：p=p。的一个接受域，显著水平为。。问题如果是假设检验H0：p=p0；H1：p尹p0选择统计量对给定的显性水平为。，得到一个小概率事件IX-UCf/a/m由实测值点是否成立，决定是否拒绝原假设。X拒绝域为拒绝域为IX-UCf/a/m由实测值点是否成立，决定是否拒绝原假设。X拒绝域为拒绝域为接受域为接受域为将U0改为p，那么结果正是p的区间估计，置信度为1-a。6、参数的区间估计与假设检验之间的区别参数的区间估计和假设检验从不同的角度回答同一问题，它们的统计处理是相通的。但是它们之间又有区别，体现以下三点：第一，参数估计解决的是多少（或范围）问题，假设检验则判断结论是否成立。前者解决的是定量问题，后者解决的是定性问题。第二，两者的要求各不相同。区间估计确定在一定概率保证程度下给出未知参数的范围。而假设检验确定在一定的置信水平下，未知参数能否接受己给定的值。第三，两者对问题的了解程度各不相同。进行区间估计之前不了解未知参数的有关信息。而假设检验对未知参数的信息有所了解，但作出某种判断无确切把握。因而在实际应用中，究竟选择哪种方法进行统计推断，需要根据实际问题的情况确定相应的处理方法。否则将会产生不同的结论，做出错误的统计推断。综上所述，在通常情况下参数的区间估计与假设检验这两种统计推断方法是相通的。参数的区间估计可通过利用假设检验的方法来解决，同样参数的假设检验问题可通过利用区间估计的方法来解决。但是，这两种统计推断方法的适用情况也有所不同。在实际应用中假若我们对问题有很多的了解或掌握一些非样本的信息，这时采用假设检验的方法比较合适。如果我们对问题除样本信息外再没有其它要考虑的信息，则采用区间估计的方法较为稳妥。参考文献:张霭珠，陈力君.定量分析方法[M].上海:复旦大学出版社.2003.樊明智，王芬