2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.3直线与平面垂直的性质3作业含解析新人教版必修220220226147

PAGEPAGE6直线与平面垂直的性质（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下面四个结论：①若直线a∥平面α,则α内任何直线都与a平行;②若直线a⊥平面α,则α内任何直线都与a垂直;③若平面α∥平面β,则β内任何直线都与α平行;④若平面α⊥平面β,则β内任何直线都与α垂直.其中正确的两个是()A.①与②B.②与③C.③与④D.②与④2.下列四个说法中错误的是()A.a⊥α,b⊥α⇒a∥bB.a⊥α,a∥b⇒b⊥αC.a⊥α,b∥α⇒a⊥bD.a⊥α,a⊥b⇒b∥α3.(2013·杭州高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1()A.A1C1⊥ADB.D1C1⊥C.AC1与DC成45°角D.A1C1与B1C成60°4.a,b,c是三条直线,α,β是两个平面,b⊂α,c⊄α,则下列结论不成立的是()A.若α∥β,c⊥α,则c⊥βB.若α⊥β,则b⊥βC.若a是c在α内的射影,a⊥b,则b⊥cD.若b∥c,则c∥α5.(2013·宁德高一检测)如图,△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小C.不变D.有时变大有时变小二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·郑州高一检测)若一个直角在平面α内的射影是一个角,则该角最大为.7.从平面外一点P引与平面相交的直线,使点P与交点的距离等于1,若点到平面的距离也为1,则满足条件的直线条数可能是条.8.(2012·四川高考)如图所示,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,过点A作AE⊥SB于点E,过点E作EF⊥SC于点F,如图所示.(1)求证：AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于点G,求证：AG⊥SD.10.(2013·潍坊高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是BB1,CC1与AB的中点,(1)求证：AE∥平面A1DF.(2)求证：A1M⊥(3)正方体棱长为2,求三棱锥A1-DEF的体积.11.(能力挑战题)如图,四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,侧棱与底面垂直,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=AD=1,BC=,AA′=.(1)求证：DB⊥BC′.(2)求二面角A′-BD-C的大小.答案解析1.【解析】选B.①是错误的,a与α内的一簇平行线平行.②③由线面垂直,面面平行的性质可判断出是正确的.④是错误的.2.【解析】选D.根据线面垂直的性质定理可知A正确;对于B,因为a⊥α,又a∥bb⊥α,正确;对于C,因为b∥α,则直线b和平面内的一条直线平行,又因为a⊥α,和平面内的任意一条直线垂直,故a⊥b,正确;D不正确.3.【解析】选D.如图,AD和A1C1成45°的角,不垂直;D1C1和AB平行,AC1和DC不成454.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则垂直于另一个,故A正确.若c∥α,因为a是c在α内的射影,所以c∥a,因为b⊥a,所以b⊥c;若c与α相交,则c与a相交,由线面垂直的性质与判定定理知,若b⊥a,则b⊥c,故C正确.因为bα,c⊄α,b∥c,所以c∥α,故D正确.当α⊥β时,平面α内的直线不一定垂直于平面β,故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周,也是造成判断错误的因素.5.【解析】选C.因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,又因为直线l垂直于平面ABC,所以l⊥BC,根据线面垂直的判定定理可知,BC⊥平面PAC,所以∠PCB=90°,即∠PCB的大小不变.6.【解析】该角最大是平角,即180°.答案：180°【误区警示】本题易错在不考虑特殊情况,当这个直角的射影为一条线时,形成的角为平角.7.【解析】设P到平面α的距离为d,若d=1,则直线与平面垂直时满足题意,则只有1条.答案：1【举一反三】本题若去掉“点到平面的距离也为1”【解析】分三种情况讨论,当点到平面的距离为1时,只有一条;当点到平面的距离大于1时,不存在;当点到平面的距离小于1时,有无数条.8.【解析】如图,过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD,由线面垂直关系可知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,所以∠ADC=60°.连接CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2,则AC=,CD=1,AB==4,所以sin∠ABC=.答案：9.【证明】(1)因为SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,AE平面SAB.所以BC⊥AE.又AE⊥SB,BC∩SB=B.所以有AE⊥平面SBC,又SC平面SBC,所以AE⊥SC.又EF⊥SC,AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF,AF平面AEF,所以AF⊥SC.(2)因为SC⊥平面AEF,AG平面AEF,所以SC⊥AG,又CD⊥AD,CD⊥SA,AD∩SA=A.所以CD⊥平面SAD,又因为AG平面SAD.所以CD⊥AG,又SC∩CD=C,所以AG⊥平面SDC.又SD平面SDC,所以AG⊥SD.【变式训练】已知a,b,c是平面α内相交于一点O的三条直线,而直线l和平面α相交,并且和a,b,c三条直线成等角.求证：l⊥α.【证明】分别在a,b,c上取点A,B,C并使AO=BO=CO.设l经过O,在l上取一点P,在△POA,△POB,△POC中,因为PO=PO=PO,AO=BO=CO,∠POA=∠POB=∠POC,所以△POA≌△POB≌△POC.所以PA=PB=PC.取AB的中点D,连接OD,PD,则OD⊥AB,PD⊥AB.因为PD∩OD=D,所以AB⊥平面POD.因为PO平面POD,所以PO⊥AB.同理,可证PO⊥BC.因为ABα,BCα,AB∩BC=B,所以PO⊥α,即l⊥α.若l不经过点O时,可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α,所以l⊥α.10.【解题指南】证明线面平行和线面垂直一般利用其判定定理;求三棱锥的体积一般采用等积法.【解析】(1)在正方体中,因为E,F分别是BB1,CC1的中点,所以EFBC.又因为ADBC,所以EFAD.所以四边形AEFD是平行四边形,所以AE∥DF.因为AE⊄平面A1DF,DF平面A1DF,所以AE∥平面A1DF.(2)因为AD⊥平面ABB1A1,A1M平面ABB1A所以AD⊥A1M.所以在正方形ABB1A1中,M,E分别是AB与BB所以△AA1M≌△BAE,所以∠BAE=∠AA1因为∠BAE+∠A1AO=90°,所以∠AA1M+∠A1AO=90°,所以A1M因为AD∩AE=A,所以A1M⊥(3)×AD=.11.【解析】(1)作BM⊥CD,垂足为M,连接AM.因为AB∥CD,AD⊥DC,BM⊥CD,且AB=AD=1,所以四边形ABMD是正方形,所以BM=DM=1,所以BD=.又因为BC=,所以CM==1,所以CD=2,所以CD2=BD2+BC2,所以DB⊥BC.又因为CC′⊥平面ABCD,所以C′C⊥BD,又C′C∩BC=C,所以BD⊥平面BCC′.又因为BC′平面BCC′,所以DB⊥BC′.(2)设AM与BD交于点E,连接A′E.由(1)知,ME⊥BD,且DE=BE