概率论及数理统计知识点计划超详细版

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《概率论与数理统计》

第一章概率论的基本观点

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系AB则称事件B包括事件A，指事件A发生必定致使事件B发生

AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当

A，B中起码有一个发生时，事件AB发生

AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B

同时发生时，事件AB发生

A—B{xxA且xB}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A—B发生AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不可以同时发生，基本领件是两两互不相容的

ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件

A与事件B互为对峙事件2．运算规则互换律

联合律

ABBAABBA

(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)

分派律A（BC）(AB)(AC)

A(BC)(AB)(AC)

—

徳摩根律ABABABAB

§3．频次与概率

定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频次概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A给予一个实数，记为P（A），

称为事件的概率

1．概率P(A)知足以下条件：

（1）非负性：对于每一个事件A0P(A)1

（2）规范性：对于必定事件SP(S)1

;....

nn（n可（3）可列可加性：设A,A,,A是两两互不相容的事件，有P(Ak)P(Ak)12nk1k1以取）2．概率的一些重要性质：（i）P()0

nn（ii）若A1,A2,,An是两两互不相容的事件，则有P(Ak)P(Ak)（n能够取）k1k1（iii）设A，B是两个事件若AB，则P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A)（iv）对于随意事件A，P(A)1

（v）P(A)1P(A)（逆事件的概率）

（vi）对于随意事件A，B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：试验的样本空间只包括有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包括k个基本领件，即A{ei}{ei}{ei}，里1]2ki1，i2,，ik是1,2，n中某k个不一样的数，则有kkA包括的基本领件数P(A)P{eij}中基本领件的总数j1nS§5．条件概率（1）定义：设A,B是两个事件，且P(A)0，称P(B|A)P(AB)为事件A发生的条P(A)

件下事件B发生的条件概率

（2）条件概率切合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有P(B|A)02。规范性：对于必定事件S，P(S|A)13可列可加性：设B1,B2,是两两互不相容的事件，则有P(BiA)P(BiA)i1i1（3）乘法定理设P(A)0，则有P(AB)P(B)P(A|B)称为乘法公式

;....

n

（4）全概率公式：P(A)P(Bi)P(A|Bi)i1贝叶斯公式：P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi)i1§6．独立性定义设A，B是两事件，假如知足等式P(AB)P(A)P(B)，则称事件A,B互相独立定理一设A，B是两事件，且P(A)0，若A，B互相独立，则P(B|A)PB————定理二若事件A和B互相独立，则以下各对事件也互相独立：A与B，A与B，A与B

第二章随机变量及其散布

§1随机变量

定义设随机试验的样本空间为S{e}.XX(e)是定义在样本空间S上的实值单值函

数，称XX(e)为随机变量

§2失散性随机变量及其散布律

1．失散随机变量：有些随机变量，它所有可能取到的值是有限个或可列无穷多个，这类随机变量称为失散型随机变量

P(Xxk)pk知足以下两个条件（1）pk0，（2）Pk=1

k1

2．三种重要的失散型随机变量

（1）散布设随机变量X只好取0与1两个值，它的散布律是P(Xk)k1-k，k0,1（0p1)，则称X听从以p为参数的散布或p（1-p）两点散布。（2）伯努利实验、二项散布—设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设—P(A)p（0p1)，此时P(A)1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。P(Xk)npkqn-k，k0,1,2，n知足条件（1）pk0，（2）Pk=1注意kk1;....

到nkqn-k是二式npk的那一，我称随机量X听从参数kn，p的二散布。（3）泊松散布

随机量X所有可能取的0,1,2⋯，而取各个的概率ke-0,1,2,此中0是常数，称X听从参数的泊松散布P(Xk),kk!

X~（）

§3随机变量的散布函数

定X是一个随机量，x是随意数，函数F(x)P{Xx},-x

称X的散布函数散布函数F(x)P(Xx)，拥有以下性(1)F(x)是一个不减函数（2）0F(x)1，且F()0,F()1（3）F(x0)F(x),即F(x)是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度随机量：假如于随机量X的散布函数F（x），存在非可函数f(x)，使于随意函数x有F(x)xf（t）dt,称x性随机量，此中函数f(x)称X-的概率密度函数，称概率密度1概率密度f(x)拥有以下性，足（1）f(x)0,(2)f(x)dx1；-（3）P(x1Xx2)x2f(x)dx；（4）若f(x)在点x，有F，(x)f(x)x12,三种重要的型随机量

(1)均匀散布

1，axb若性随机量X拥有概率密度f(x)b-a，成X在区(a,b)上听从0，其余均匀散布.X~U（a，b）(2)指数散布若性随机量X的概率密度1e-x，x.0此中0常数，称Xf(x)0，其余听从参数的指数散布。（3）正散布

;....若连续型随机变量X的概率密度为(x21）f(x)22，x，2此中，（0)为常数，则称X听从参数为，的正态散布或高斯散布，记为

X~N（，2）

特别，当0，1时称随机变量X听从标准正态散布

§5随机变量的函数的散布

定理设随机变量X拥有概率密度fx()-x,又设函数g(x)到处可导且恒有x，g,(x)0，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为fY(y)fXh(y)h,(y),y，其余

第三章多维随机变量

§1二维随机变量

定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S{e}.XX(e)和YY(e)是定义在S上

的随机变量，称XX(e)为随机变量，由它们组成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量

设（X，Y）是二维随机变量，对于随意实数x，y，二元函数

F（x，y）P{(Xx)(Yy)}记成P{Xx，Yy}称为二维随机变量（X，Y）的

散布函数

假如二维随机变量（X，Y）所有可能取到的值是有限对或可列无穷多对，则称（X，

）是失散型的随机变量。

我们称P(Xxi，Yyj)pij，i，j1,2，为二维失散型随机变量（X，Y）的散布律。对于二维随机变量（X，Y）的散布函数F（x，y）f（x，y），，假如存在非负可积函数使对于随意x，y有（，yx（，），F）f--函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。§2边沿散布二维随机变量（X，Y）作为一个整体，拥有散布函数F（x，y）.而X和Y都是随机

变量，各自也有散布函数，将他们分别记为F（x),（y），挨次称为二维随机变量（X，Y）XFY;....

对于X和对于Y的边沿散布函数。

pipijP{Xxi}，i1,2，pjpijP{Yyi}，j1,2，j1i1分别称pipj为（X，Y）对于X和对于Y的边沿散布律。()(,）()(,）分别称f(x)，fXxfxydyfYyfxydxXfY(y)为X，Y对于X和对于Y的边沿概率密度。

§3条件散布定义设（X，Y）是二维失散型随机变量，对于固定的PYyj}0,j，若{则称P{XxiYyj}P{Xxi,Yyj}pij,i1,2,为在Yyj条件下P{Yyj}pj随机变量X的条件散布律，相同P{YyjXXi}P{Xxi,Yyj}pij,j1,2,P{Xxi}pi为在Xxi条件下随机变量X的条件散布律。设二维失散型随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，（X，Y）对于Y的边沿概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)〉0，则称f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件fY(y)概率密度，记为fXY(xy)f(x,y)=fY(y)§4互相独立的随机变量定义设及(x)，FY(y)分别是二维失散型随机变量（X，Y）的散布函F（x，y）FX数及边沿散布函数.若对于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即F{x,y}FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是互相独立的。对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y互相独立的充要条件是参数0§5两个随机变量的函数的散布

1，Z=X+Y的散布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它拥有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为fXYz)f(zyydy或fXYzfxzx）dx(,）()(,

;....

又若X和Y互相独立，（X，Y）对于X，Y的密度分fX(x),fY(y)

f(z)f(zy）f（y)dy和f(z)f(x）f(zx)dx两个公式称XYXYXYXY

fX,fY的卷公式

有限个互相独立的正随机量的性合仍旧听从正散布

2，ZY的散布、ZXY的散布X(X,Y)是二型随机量，它拥有概率密度f(x,y)，ZY，ZXYX仍性随机量其概率密度分fYX(z)1zxf(x,xz)dxfXY(z)f(x,)dx又若X和Y互相独立，（X，Y）xx对于X，Y的密度分fX(x),fY(y)可化fYX()fX()Y()zxfxzdx1zfXY(z)xfX(x)fY(x)dx3Mmax{X，Y}及Nmin{X,Y}的散布X，Y是两个互相独立的随机量，它的散布函数分FX(x),FY(y)因为Mmax{X，Y}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又因为X和Y互相独立，获得Mmax{X，Y}的散布函数()FX()()FmaxzzFYzNmin{X,Y}的散布函数Fmin(z)11FX(z)1FY(z)

第四章随机变量的数字特点

§1．数学希望

定失散型随机量X的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，⋯若数kpkxk1收，称数xkpk的和随机量X的数学希望，E(X)，即E(X)xkpkk1i型随机量X的概率密度f(x)，若分xf(x)dx收，称分

;....

xf(x)dx的随机量X的数学希望，E(X)，即E(X)xf(x)dx

定理Y是随机量X的函数Y=g(X)(g是函数)

（i）假如X是失散型随机量，它的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，⋯若g(xk）pkk1

收有E(Y)E(g(X))g(xk）pkk1（ii）假如X是型随机量，它的分概率密度f(x)，若g(x)f(x)dx收有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx数学希望的几个重要性

1C是常数，有E(C)C2X是随机量，C是常数，有E(CX)CE(X)3X,Y是两个随机量，有E(XY)E(X)E(Y)；4X，Y是互相独立的随机量，有E(XY)E(X)E(Y)§2方差

定X是一个随机量，若E{XE(X)2}存在，称E{XE(X)2}X的方差，D（x）即D（x）=E{XE(X)2}，在用上引入量D(x)，(x)，称准差或均方差。D(X)E(XE(X))2E(X2)(EX)2方差的几个重要性1C是常数，有D(C)0,2X是随机量，C是常数，有D(CX)C2D(X)，D(XC)D(X)3X,Y是两个随机量，有D(XY)D(X)D(Y)2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特，若X,Y互相独立，有D(XY)D(X)D(Y)4D(X)0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{XE(X)}1切比雪夫不等式：随机量X拥有数学希望E(X)2，于随意正数，不等式

;....

2

P{X-}2建立

§3协方差及有关系数

定义量E{[XE(X)][YE(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]E(XY)E(X)E(Y)

而XY

Cov(X，Y）称为随机变量X和Y的有关系数D(X)D(Y)

对于随意两个随机变量X和Y，D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

_

协方差拥有下述性质

1Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)

2Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)定理1XY12XY1的充要条件是，存在常数a,b使P{Yabx}当XY0时，称X和Y不有关附：几种常用的概率散布表分参数散布律或概率密度布两点0p1P{Xk)pk(1p)1k,k0,1，分布二项Cnkpk(1p)nk,k式n10p1P(Xk)0,1,n，分布泊松0P(Xk)ke,k0,1,2,分k!布几何0p1P(Xk)(1p)k1p,k1,2,分

1

数学

希望

p

np

1

p

方差

p(1p)

np(1p)

p

p2

;....

布

均1匀ab,axbab(ba)2分f(x)ba，0，其余212布指1ex数0,x02分f(x)0,其余布正)21(xe222分0f(x)2布

第五章大数定律与中心极限制理

§1．大数定律

弱大数定理（辛欣大数定理）X1，X2⋯是互相独立，听从一散布的随机量序列，并

拥有数学希望E(Xk)(k1,2,).作前n1nXk，于随意个量的算均匀nk10，有limP{1nXk}1nnk1定Y1,Y2,Yn是一个随机量序列，a是一个常数，若于随意正数，有limP{Yna}1，称序列Y1,Y2,Yn依概率收于a，Ynpan伯努利大数定理fA是n次独立重复中事件A生的次数，p是事件A在每次中生的概率，于随意正数〉0，有lim{fn}1或Pnpnl