吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学2023届高三最后一卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则()A．2020 B．4038 C．4039 D．40402．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）A． B． C． D．3．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B． C． D．4．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．5．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]6．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．的值域是 B．是奇函数C．是周期函数 D．是增函数7．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．8．设点，，不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或510．下列不等式正确的是（）A． B．C． D．11．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．12．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.14．函数的值域为_________．15．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为__________.16．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.18．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.19．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.20．（12分）已知函数．当时，求不等式的解集；，，求a的取值范围．21．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.22．（10分）已知，函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

计算，代入等式，根据化简得到答案.【详解】，，，故，，故.故选：.【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.2、A【解析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题3、B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．4、B【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.5、B【解析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.6、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.7、A【解析】

根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【详解】函数，，由题意得，即，令，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，而，当且仅当，即当时，等号成立，∴，∴.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.8、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.9、B【解析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于，所以，又且，故选：B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.10、D【解析】

根据，利用排除法，即可求解．【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、D【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有，①，②①②得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.12、D【解析】

做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】作出函数的图象如图所示，由图可知方程在上有3个不同的实数根，则在上有4个不同的实数根，当直线经过时，；当直线经过时，，可知当时，直线与的图象在上有4个交点，即方程，在上有4个不同的实数根.故选:D.【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，则，由勾股定理可得，上述三个等式全部相加得，，因此，三棱锥的外接球面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.14、【解析】

利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．【详解】由题意，可得，令，，即，则，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，故函数的值域为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．15、【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.【详解】解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1，设圆柱底面半径为，由已知有，∴，即圆柱的底面半径为.故答案为：.【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.16、【解析】乙不输的概率为，填.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记，利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【详解】（1）已知，，由可得，又由,知在上单调递减，令，记，则在上单调递增；，在上单调递增；，（2），，在上不单调，在上有正有负，在上有解，，，恒成立，记，则，记，，在上单调增，在上单调减.于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，，，.（ii）当时，，故不满足题意.综上所述，【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.18、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．19、（1）；（2）见解析【解析】

（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.【详解】（1）抛物线的焦点为，，，，，，椭圆方程为；（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：代入得：，，，解得：，；（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为由，由①，，，即整理得：代入①得：到的距离综上：为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21、（1）；（2）；（2）见解析．【解析】

（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后