吉林省抚松五中、长白县实验中学2023届高三第三次测评数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．92．已知条件，条件直线与直线平行，则是的()A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A．4 B． C． D．4．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A．1 B．2 C． D．46．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（）A． B．C． D．7．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．8．函数的大致图象为（）A． B．C． D．9．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．10．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．14．函数的定义域是___________．15．在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_________．16．已知数列满足对任意，，则数列的通项公式__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．18．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注:若，则，，.19．（12分）如图，在平面四边形中，，，.（1）求；（2）求四边形面积的最大值.20．（12分）已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a21．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.22．（10分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.2、C【解析】

先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.3、D【解析】试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.考点：线性规划.4、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.5、B【解析】

因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！6、A【解析】

画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；【详解】如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.法一：四边形的外接圆直径，，；法二：，，；法三：作出的外接圆直径，则，，，，，，，，，.故选：A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.7、A【解析】

由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.8、A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.9、A【解析】

首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1____，__1__，____1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，但合并计算时会有重复，重复数量为，事件的样本点数为：个．故不同的样本点数为8个，.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题10、B【解析】

函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．【详解】由题在上恒成立.即，的图象永远在的上方，设与的切点，则，解得，易知越小，图象越靠上，所以.故选：B．【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．11、C【解析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.【详解】由题化简得，，作出的图象，又由易知．故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.12、C【解析】

由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．【详解】由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2，而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为：VP﹣AEF＝＝＝．故答案为【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．14、【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.【详解】解：由题意得，，解得，所以，故答案为：【点睛】此题考查函数定义域的求法，属于基础题.15、4【解析】∵∴根据正弦定理与余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案为416、【解析】

利用累加法求得数列的通项公式，由此求得的通项公式.【详解】由题，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；【详解】（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.由题有，所以.因此的分布列为.【点睛】本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题19、（1）；（2）【解析】

（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数（2）设根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值.【详解】（1），则由同角三角函数关系式可得，则，则，所以.（2）设在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，由三角形面积公式可得，所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.20、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)n2【详解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21、（1）：，：；（2）【解析】

（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.【详解】（1）消去参数，得直线的普通方程为，将两边同乘以得，，∴圆的直角坐标方程为；（2）经检验点在直线上，可转化为①，将①式代入圆的直角坐标方程为得，化简得，设是方程的两根，则，，∵，∴与同号，由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标