数学与创新思维

数学与创新思维

引言

全国科技大会指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。”“建立创新型国家。”

教育部的一个报告指出：

“实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。”

恩格斯指出：“一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”

创造性人才的创造活动是在相应的创造性思维的支配下，所进行的一种积极的能动的活动。创造性思维是一切创造活动的核心和灵魂。H·G·格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。”赫巴特说：“数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维的方式来提供最佳服务。”

因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。

讲四个问题一、归纳思维二、类比思维三、发散思维四、逆（反）向思维我将结合高等数学和数学史上一些著名问题来讲一、归纳思维归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法…牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。”“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。”

著名数学家沃利斯说：“我把（不完全的）归纳和类比当作一种很好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易发现一般规律．”

归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算……,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。归纳的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素数*。10，20，30都是偶数。是否两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……这样下去总是对的吗？即任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？大于4的偶数=奇素数+奇素数？(*)（哥德巴赫猜想）60=3+57（57=19×3，不是素数）60=5+55（55=11×5，不是素数)

？！60=7+53（7和53都是素数）…….

哥德巴赫猜想。起源，演变哥德巴赫观察到一些具体例子，然后归纳出：“任何大于2的数都是三个素数的和”。（1742.6.7写信给欧拉，并附上一些他观察到的例子）欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为：“每一偶数是两个素数的和”(**)（并说：“我认为它正确，但给不出证明）1770（英）华林将(**)发表出来。现代的标准陈述是（*）这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2））。

这是数学向人类智慧的挑战！但对此猜想的证明过程中，极大的推动了解析数论的发展（特别是筛法，圆法）二项式系数(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=…….(u+v)n=12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形111121133114641151010511615201561

宋朝数学家杨辉1261年写的《详解九章算法》*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。杨辉三角形在高等数学中，许多重要结果的得出，都用到了归纳思维。例如：求某一函数的n阶导数，通常的方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出n阶导数的表达式。解从而归纳出解因为因而归纳得到科尔莫哥洛夫在《我是如何成为数学家》中说：我在6、7岁时我已经感受到数学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边的等式：他的这个发现，后来被刊登在《春燕》杂志上。问题：考察表按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。问题：下述结论是否成立？二、类比思维著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。

类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：

著名天文学、数学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘……。”著名数学家、教育学家波利亚说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”在平面解析几何中直线的截距式是：在平面解析几何中,两点的距离是：在空间解析几何中,两点的距离是：

在空间解析几何中平面的截距式是：在平面解析几何中圆的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2

在空间解析几何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。②莱布尼茨公式将他们比较可以看出:把①中右端K次幂换成K阶导数(零阶导数理解为函数本身),把①中u+v换成uv,n次幂换成n阶导数既为②.(拉格朗日17岁)牛顿二项式展开公式①费马猜想：

X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整数，n<m;X3+Y3=Z3是否有正整数解？X4+Y4=Z4是否有正整数解？Xn+Yn=Zn,n>2是否有正整数解？

ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z为正整数)=====zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n>2)(Wiles1994)欧拉猜想：下述方程没有整数解：没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：后来人们又发现了一个更简单的例子：特别应该将牛顿——莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿——莱布尼茨公式视为，它建立了一元函数f(x)在一个区间的定积分与其原函数F(x)在区间边界的值之间的联系；通过类比，就可将格林公式视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上的二重积分与其“原函数”在区域边界L的曲线积分之间的联系；实践证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但易于接受、理解、掌握新知识，更重要的是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利于开发自己的创造力。（费马猜想）

三、发散思维所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。数学王子—高斯

高斯被誉为：“能从九霄云外的高度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才”和“数学王子”。特别是高斯非常重视培养自己的发散思维，并且善于运用发散思维。他非常重视“一题多解”、“一题多变”。例如：他对‘代数基本定理’，先后给出了4种不同的证明；他对数论中的‘二次互反律’，先后给出了8种不同的证明（高斯称‘二次互反律’是数论中的一块宝石，数论的酵母，是黄金定理）。

欧拉勒让德第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯引理；第四个证明是用高斯和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明并发展了该理论。有人曾问高斯：“你为什么能对数学作出那样多的发现？”高斯答道：“假如别人和我一样深刻和持久地思考数学真理，他也会作出同样的发现。”高斯还说：“绝对不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把另外的证明当作多余的奢侈品。”“有时候一开始你没有得到最简和最美妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸引我去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现。”高斯这些言行，很值得我们学习和深思。因此，我们在高等数学教学中，应利用一题多解、一题多变来培养训练发散思维，下边我们举几个例子：

一题多解：计算解法１：第一类换元积分法一题多解：计算解法２：第一类换元积分法一题多解：计算解法３：第一类换元积分法一题多解：计算解法４：令第一类换元积分法一题多解：计算解法５：令第二类换元积分法一题多解：计算解法６：令第二类换元积分法一题多解：计算解法７：分部积分法和第一类换元积分法一题多解：计算解法８：分部积分法和第一类换元积分法一题多解：计算解法９：欧拉代换法，令一题多解：计算解法10：欧拉代换法，令通过计算这一个题目，不但使用了多种计算不定积分的方法，把不定积分法学活了，更重要的是培养、训练了发散式思考问题的思维方法.又如：求极限可以用极限用三角公式变形；用洛必达法则；用无究小量的代换；

用泰勒公式；……等等。又如：证明不等式可以用函数单调性；用中值定理；

用泰勒公式；……等等。四、逆向思维

一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。后来有一位聪明的人劝她：‘老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。’这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。一则小故事:

逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。（2）如果遇到某些问题直接解决困难，想法间接解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。下面举几个高等数学中的例子:若直接解决困难，想法间接解决。例1：试求解法１：用间接的方法，即转化为判断级数级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是解法２:利用夹逼定理例3：将y=xarctanx展成x的幂级数。

若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。

若用间接方法，就很简便。探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。下面我们例举数学史上两个最有名的问题：关于非欧几何的发现欧几里得《几何原本》第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是“凡直角都相等”），符合亚里士多德公理“自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。

而且只有第5公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西.

此公设是“若一直线和两条直线相交，所构成的两同旁内角之和小于两直角，那么把这两直线延长，它们一定在两内角的一侧相交”。

这公设等价于：“在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行”。

欧当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。因此没有得到公认，于是就有人提出来把它作为定理来证明。但是许多数学家经历了2000多年都以失败告终，他们不是证明有错误，就是用另一条等价的公理代替了第五公设。

达朗贝尔曾把第五公设的证明称为“几何原理中的家丑”。

直到19世纪初，数学家们着手研究它的反问题━━欧几里得第五公设不可证。特别是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设的失败教训。高斯(1799,1813)罗巴切夫斯基

(1826,1829)鲍耶（1832）罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：不依赖于第五公设得到证明的命题（绝对几何）。依赖于第五公设才能证明的命题。

“在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作一条直线与AB不相交”。1.仅可作一条（第五公设）欧氏几何；2.可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系。他们首先肯定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证明，然后用一个与它相反的命题来代替它。即“在平面上，过直线外一点至少可引两条直线与已知直线平行。”罗从而建立了一种与欧几里得不同的新的几何体系。高斯称之为“反欧几里得几何”罗巴切夫斯基称之为“想象的几何”后他又称之为“泛几何”今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。

后来德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设的命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，即“在平面上，过直线外一点不可能引一直线与已知直线平行”。黎从而建立了一种与欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不同的新的几何体系，现称为“黎曼几何”（又称椭圆几何）。现在人们把“罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为“非欧几里得几何”。

黎曼(1854)

20世纪伟大的数学家希尔伯特指出:

“19世纪最富启发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现”。非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。(太平洋)

欧几里得：三角形内角和=两直角,2πr=c，a2+b2=c2

罗巴切夫斯基：三角形内角和<两直角,

2πr<c，a2+b2<c2

黎曼：三角形内角和>两直角,2πr>c，a2+b2>c2

后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n维仿射空间和度量空间几何。1871年克来因关于五次及五次以上代数方程根式求解问题在16世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次