成都树德中学高2023级第二期期中考试数学试题

成都树德中学高2023级第二期期中考试数学试题命题牟秀锦考试时间:120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。请将所选答案代号填涂在机读卡的相应位置。1.若向量的模为，则（）A． B． C． D．2.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在岸边选定一点C，测得AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则可计算出A、B两点间离为（）A．B．C．D．3.等比数列的前项和为，，若，，成等差数列，则（）A．7 B．8 C．16 D．154．我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图），1361015…则第七个三角形数是（）A．27 B．28 C．29 D．305．已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A．B．C．D．6．在中，，则A的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知数列的前n项和为Sn，a1=1，当时，，则S2023=（）A．1005B．1006C．1007D．10088．已知是等比数列，，是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（）A．B．C．D．9．化简的结果是（）A．B．C．D．10.数列满足，若，则（）A．B． C． D．11．已知是等差数列，为其前n项和，若，O为坐标原点，点、，则（）A．2023B．4022C．0D．112．，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。请将答案填在答题卷的相应位置。13．设数列的通项公式为，是数列的前项和，则当时，取得最大值。14.已知，则。15．若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有，则=。16.已知一非零“向量数列”满足：，（）。给出下列四个结论：①数列是等差数列；②；③设，数列的前n项和为，当且仅当n=2时，取得最大值；④记向量与的夹角为，则均有。其中所有正确结论的序号是。成都树德中学高2023级第二期期中考试数学试题答题卷二、填空题：13．；14．；15．；16．。三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答必须写出必要的文字说明或解答过程。17．（12分）已知为第二象限的角，，为第三象限的角，。求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值。18．（12分）设数列满足，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和。19．（12分）已知向量，。设函数。（Ⅰ）求函数的最大值及此时x的取值集合；（Ⅱ）在角A为锐角的中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为3，，求a的值。20．（12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21．（12分）已知函数，点、是函数图象上的任意两点，且线段的中点P的横坐标为。（Ⅰ）求证：点P的纵坐标为定值；（Ⅱ）在数列中，若,,,,,,,，求数列的前项和。22．（14分）已知数列的前项和为,且。数列满足()，且，。（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（Ⅲ）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。成都树德中学高2023级第二期期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：BADBCCBBB二、填空题：13．13；14.2；15．；16.②④。三、解答题17．解：（Ⅰ）因为为第二象限的角，，所以………1分………………………2分又，所以…………………4分（Ⅱ）因为为第三象限的角，，所以，……………6分又，…………10分所以…12分18．解：（Ⅰ）由已知，当时，。………………………4分而，所以数列的通项公式为…………6分（Ⅱ）由知……①从而………..②……………8分①-②得。………………10分即。…………12分19．解：（Ⅰ）…………4分令得，，此时的集合为……………6分（Ⅱ）由（I）可得。因为，所以。从而，………………8分又……………10分又，……………………12分20．解：（I）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，…，第n年投入为万元，所以，n年的总收入为……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为万元，…，第n年旅游业收人为万元。所以，n年内的旅游业总收入为…6分（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，，……………9分，，，。，。答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。……………………12分21．（Ⅰ）证明：由题意，EQ\f(1,2)(x1＋x2)＝EQ\f(1,2)，所以x1＋x2＝1………1分此时y1＋y2＝EQ\f(1,4x1＋2)＋\f(1,4x2＋2)＝\f(4x1＋4x2＋4,(4x1＋2)(4x2＋2))=EQ\f(4x1＋4x2＋4,4x1＋x2＋2(4x1＋4x2)＋4)＝\f(4x1＋4x2＋4,2(4x1＋4x2＋4))＝\f(1,2)……………4分∴点P的纵坐标为定值EQ\f(1,4)。……………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x1＋x2＝1时，y1＋y2＝EQ\f(1,2)。由P1、P2的任意性，且EQ\f(k,m)＋\f(m－k,m)＝1，有f(EQ\f(k,m))＋f(\f(m－k,m))＝\f(1,2)。…………………6分∵Sm＝a1＋a2＋……＋am＝f(EQ\f(1,m))＋f(\f(2,m))＋……＋f(\f(m－2,m))＋f(\f(m－1,m))＋f(1) ……①又Sm＝f(1)＋f(EQ\f(m－1,m))＋f(\f(m－2,m))＋……＋f(\f(2,m))＋f(\f(1,m))……②………………8分①＋②得：2Sm＝2f(1)＋[f(EQ\f(1,m))＋f(\f(m－1,m))]＋[f(\f(2,m))＋f(\f(m－2,2))]＋……＋[f(\f(m－1,m))＋f(\f(1,m))]……，且f(1)＝EQ\f(1,4＋2)＝\f(1,6)。………………10分∴2Sm＝EQ\f(1,3)＋\f(m－1,2)＝\f(1,6)(3m－1)。∴Sm＝EQ\f(1,12)(3m－1)。………12分22．解：（Ⅰ）当时,；当时,。而满足上式。∴。又即，是