讲充分条件必要条件应用

充分条件、必要条件的应用2/2/20231一、复习回顾1.充分条件若pq,则称p是q的充分条件；2.必要条件若pq,则称q是p的必要条件；3.充要条件若p

q，则称p是q的充要条件.22/2/20232[复习]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[分析]解答本题首先判断是否有p⇒q或q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．充分条件、必要条件、充要条件的判断2/2/202332/2/20234如何判断p是q的什么条件？(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．2/2/20235比较下列说法：这时pq成立q

pq

pq

p充分性p

q充分性p

q62/2/20236三、问题再现1.x>2是“x>3”的（）条件？A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.B2.下列哪个条件是x>5成立的必要条件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.A点评：若“x>a”是“x>b”的充分条件，则a≥b.“大于一个较大的数则必大于一个较小的数”提示:x>3x>2提示:x>5?72/2/20237(1)下列哪个条件是x>5成立的必要条件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.(2)下列哪个条件是x>5成立的充分条件？()A.x>1;B.x>8;

C.x<5;D.x<6.比较下列说法：(3)x>5成立的必要条件是？()A.x>1;B.x>8;

A提示:x>5?提示:?x>5提示:x>5?BA82/2/20238三、问题再现2.判断下列说法哪些是正确的？(1)x=2是x2-3x+2=0的必要条件；(2)x=2的一个必要条件是x2-3x+2=0；(3)x2-3x+2=0的一个充分条件是x=2；(4)x2-3x+2≠0的一个充分条件是x≠2.点拨：“x2-3x+2=0”可以写成“x=2”或“x=1”,所以，x=2x2-3x+2=0,但x2-3x+2=0时，x未必等于2.92/2/20239三、问题再现3.p是r的充分非必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么q是p成立的（）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.提示1：pr提示2：rs提示3：sqpqB102/2/2023101．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2/2/202311解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．2/2/202312[例2]

已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．[分析]

先求解不等式解集，然后根据充分条件的意义，建立不等式求解．充分条件、必要条件的应用2/2/2023132/2/202314怎样利用充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数范围？(1)化简p、q两命题；(2)根据充分性、必要性转化为集合间关系；(3)利用集合间关系建立不等关系；(4)求解参数范围．2/2/2023152．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不必要条件，求m的值．2/2/2023162/2/202317充要条件的证明[例3]

求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[分析]

本题的条件是p：m≥2，结论是q：方程x2＋mx＋1＝0有两个负根，证明该问题，充分性的证明是p⇒q，必要性的证明是q⇒p.2/2/2023182/2/202319充要条件的证明：(1)由题意先确定条件p，结论q；(2)证p⇒q，得充分性；(3)证q⇒p，得必要性；(4)结论成立．2/2/202320【名师点评】

有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．212/2/2023212．证明p是q的充要条件应注意(1)首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件．如若要证“p是q的充要条件”，则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”，则q是条件，p是结论．这是易错点；(2)必要性与充分性不要混淆．必要性是由结论去推条件，充分性是由条件去推结论；(3)充要性的证明必须充分性、必要性同时证，不要只证充分性或只证必要性．222/2/2023223．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．2/2/202323[典例]已知p：x2－x－2≤0，q：x2－3mx＋2m2≤0，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．2/2/2023242/2/202325[反思]首先要理解充分条件和必要条件的概念，将问题转化为真命题的条件和结论是解题的关键．利用集合的包含关系，借助于数轴建立不等式组求解，如本例中由条件得出真命题q⇒p再转化为集合关系．2/2/202326答案：m≥9

2/2/202327证明注意：分清p与q.282/2/202328292/2/202329302/2/202330312/2/202331练习.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.322/2/202332

3.判别技巧：①可先简化命题；②否定一个命题只要