西电信号与系统第四章PPTpart1

信号与系统

SignalsandSystems西安电子科技大学XidianUniversity,Xi’anChina国家精品课程,国家精品资源共享课第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数Z4.1矢量的正交分解Z4.2信号的正交分解Z4.3帕斯瓦尔定理4.2周期信号的傅里叶级数Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性Z4.6周期信号指数形式的傅里叶级数Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系4.3周期信号的频谱及特点Z4.8周期信号的频谱Z4.9单边谱和双边谱的关系Z4.10周期矩形脉冲信号的频谱和特点Z4.11周期信号的平均功率——帕斯瓦尔恒等式Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换Z4.13频谱密度函数Z4.14傅里叶正反变换的定义Z4.15常用信号的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质Z4.16线性Z4.17奇偶性Z4.18对称性Z4.19尺度变换特性Z4.20时移特性Z4.21频移特性Z4.22卷积定理Z4.23时域微积分特性Z4.24频域微积分特性Z4.25相关定理4.6能量谱和功率谱Z4.26能量谱Z4.27功率谱Z4.28*应用案例：白噪声功率谱密度的估计4.7周期信号的傅里叶变换Z4.29周期信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应Z4.33傅里叶变换分析法Z4.34傅里叶级数分析法Z4.35频率响应函数Z4.36Matlab求解频率响应Z4.37无失真传输Z4.38理想低通滤波器Z4.39应用案例：二次抑制载波振幅调制接收系统Z4.40*应用案例：雷达测距系统4.9取样定理Z4.41冲激取样Z4.42时域取样定理Z4.43频域取样定理Z4.44应用案例：Matlab实现Sa信号的采样和恢复Z4.45*应用案例：数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器Z4.46模拟滤波器的概念Z4.47Matlab设计巴特沃斯低通滤波器Z4.48*切比雪夫滤波器4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.49载波抑制双边带调制Z4.50幅度调制Z4.51*单边带调制Z4.52频分多路复用Z4.53*脉冲幅值调制Z4.54*时分多路复用Z4.55*通信中的多址技术

思考问题：*为什么要引入频域来分析问题？*对系统进行频域分析的基本方法是什么？*频域分析与时域分析相比优点有哪些？知识点z4.0第四章傅里叶变换与频域分析第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言案例：信号的通信传输过程（调制解调）第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言时域分析的要点：以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yzs(t)=h(t)*f(t)。第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言

本章系统频域分析法的要点：以正弦信号和虚指数信号为基本信号，将任意输入信号分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和，再利用LTI性质求出系统的响应。这里用于系统分析的独立变量是频率，分析是在频率空间进行的，故称为频率域分析，简称频域分析。第四章傅里叶变换与频域分析4.0引言主要内容：1.矢量正交、正交矢量集的定义2.矢量的正交分解基本要求：1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示知识点Z4.1矢量的正交分解4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析1.矢量正交Z4.1矢量的正交分解两矢量V1与V2正交时的夹角为90°，不难得到两正交矢量的内积为零，即2.正交矢量集:由两两正交的矢量组成的矢量集合。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析3.非正交矢量的近似表示及误差用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.矢量正交分解：任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)，第r个分量的系数

4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.信号正交的定义2.正交函数集、完备正交函数集的定义3.信号的正交分解基本要求：1.掌握信号正交、正交函数集和完备正交函数集的基本概念2.掌握信号正交分解的方法知识点Z4.2信号的正交分解4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析1.信号正交

定义在(t1，t2)区间的两个函数

1(t)和

2(t),若满足(两函数的内积为0)则称

1(t)和

2(t)在区间(t1，t2)内正交。Z4.2信号的正交分解4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析2.正交函数集：

若n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析3.完备正交函数集：

如果在正交函数集{1(t),

2(t),…,

n(t)}之外，不存在任何函数(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析例1：两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。证明过程见扩展资源Y4001。（1）三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}（2）虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.信号的正交分解

设有n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。思考问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析为使上式最小（系数Cj变化时），有展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：即：所以系数4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（完备正交函数集），均方误差为零。4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析任意信号f(t)可以表示为无穷多个正交函数之和：结论实变函数下复变函数下主要内容：1.信号的能量2.帕斯瓦尔定理基本要求：1.掌握信号能量的基本概念2.了解帕斯瓦尔方程的物理含义和数学本质知识点Z4.3帕斯瓦尔定理4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数第四章傅里叶变换与频域分析帕斯瓦尔方程：信号的能量各正交分量的能量物理意义：在区间(t1,t2)，信号f(t)所含有的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理,也称帕斯瓦尔定理。

数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。

Z4.3帕斯瓦尔定理主要内容：1.周期信号三角形式的傅里叶级数2.狄里赫利条件3.吉布斯现象基本要求：1.掌握周期信号三角形式傅里叶级数和谐波的基本概念2.了解狄里赫利条件3.了解吉布斯现象的原理知识点Z4.4三角形式的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数回忆正交函数集：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

系数an,bn称为傅里叶系数。

1.三角形式的傅里叶级数4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析余弦分量系数：正弦分量系数：直流分量：直流n次谐波n次谐波an是n的偶函数（实际n取正值）bn是n的奇函数（实际n取正值）4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析2.狄里赫利(Dirichlet)条件：条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点；条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；条件3：在一个周期内，函数绝对可积。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析合并n次谐波分量An是n的偶函数（实际n取正值）n是n的奇函数（实际n取正值）3.余弦形式的傅里叶级数4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波；…Ancos(nt+n)称为n次谐波。表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。解：考虑到Ω=2π/T，可得：4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析信号的傅里叶级数展开式为：直流基波3次谐波n次谐波4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析（a）1次谐波（基波）

（c）1&3&5次谐波（f）1&3&…&999次谐波（e）1&3&…&99次谐波（d）1&3&5&7次谐波（b）1&3次谐波约9%偏差吉布斯现象用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯现象。4.吉布斯现象4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数2.谐波特性基本要求：

了解奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数的谐波特性知识点Z4.5周期信号波形对称性和谐波特性第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性1.f(t)为偶函数——对称于纵轴f(t)

=f(-t)bn

=0，展开为余弦级数。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析2.f(t)为奇函数——对称于原点f(t)

=-f(-t)an

=0，展开为正弦级数。4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：a0=a2=…=b2=b4=…=0

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析4.f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即：a1=a3=…=b1=b3=…=0主要内容：1.指数形式的傅里叶级数2.复傅里叶系数基本要求：1.掌握傅里叶级数的指数形式展开式2.掌握复傅里叶系数的基本概念知识点Z4.6指数形式的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.6指数形式的傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。三角形式傅里叶级数利用欧拉公式-n→nA–n=An–n=–n4.2周期信号的傅里叶级数令复数称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn

是频率为n的分量的系数，F0=A0/2为直流分量。指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析例1：求如图所示周期信号的指数形式的傅里叶级数。解：4.2周期信号的傅里叶级数第四章傅里叶变换与频域分析指数形式的傅里叶级数为：主要内容：三角形式和指数形式傅里叶级数的相互关系基本要求：掌握三角形式和指数形式傅里叶级数的相互关系知识点Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数

4.2周期信号的傅里叶级数

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系三角形式的傅里叶级数：

指数形式的傅里叶级数：知识点Z4.8周期信号的频谱第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.周期信号频谱、频谱图的定义2.单边谱的定义3.双边谱的定义基本要求：1.掌握周期信号频谱和频谱图的基本概念2.掌握单边谱、双边谱的基本概念4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析Z4.8周期信号的频谱信号的频谱是指信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn~ω。4.3周期信号的频谱及特点知识点Z4.9单边谱和双边谱的关系第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：单边谱和双边谱的关系基本要求：熟练掌握单边谱和双边谱的频谱图的绘制4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析Z4.9单边谱和双边谱的关系三角形式：单边谱，n取0到+∞指数形式：双边谱，n取-∞到+∞关系：双边谱中，|Fn|是n的偶函数,n是n的奇函数。4.3周期信号的频谱及特点4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析例1：周期信号求基波周期T,基波角频率Ω,平均功率P,画出频谱图。解

化为余弦形式：的周期T1=8的周期T2=6f(t)的周期为T1和T2最小公倍数T=24基波角频率Ω=2π/T=π/12.基波周期T=24;根据帕斯瓦尔等式4.3周期信号的频谱及特点

1是f(t)的直流分量。是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析|Fn|偶函数n奇函数知识点Z4.10周期信号频谱的特点第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.周期矩形脉冲信号的频谱2.周期信号频谱的特点3.谱线结构与波形参数的关系基本要求：1.掌握周期矩形脉冲信号的频谱2.了解周期信号频谱的特点3.了解谱线结构与波形参数的关系4.3周期信号的频谱及特点

4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.10信号频谱的特点例1:有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。解：4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）令T=4τ4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ

(2)零点为，m为整数。4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ离散性：以基频Ω

为间隔的若干离散谱线组成；谐波性：谱线仅含有基频Ω的整数倍分量；收敛性：整体趋势减小。周期信号频谱的特点：4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析T不变，↓，频谱幅度↓，谱线间隔不变。两零点之间的谱线数目(T/)

↑。谱线结构与波形参数的关系:4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析不变，T↑，幅度↓，间隔↓，频谱变密。T→∞时，谱线间隔=2π/T

→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。谱线结构与波形参数的关系:知识点Z4.11周期信号的功率第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.周期信号功率的定义2.帕斯瓦尔等式3.频带宽度的定义基本要求：1.掌握周期信号功率的基本概念2.熟练掌握帕斯瓦尔等式计算周期信号功率的方法3.了解频带宽度的概念4.3周期信号的频谱及特点

4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.11周期信号的功率含义：

周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析令T=4τ

第一个零点以内各分量的功率占总功率：4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析(1)一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号

频率大约为50~15,000Hz，扩音器/扬声器有效带宽约为

15~20,000Hz。(3)系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。(2)对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。知识点Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：基于周期性切换原理的DC-to-AC转换器基本要求：了解利用傅里叶级数求解基于周期性切换原理的直流-交流转换器转换效率的方法4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器例1DC-to-AC转换器：一个简单的基于周期性切换原理的直流-交流转换器如图所示。考虑两个情况：(a)转换器开/关，(b)转换器反转极性。图(a)和(b)描绘了上述两个情况的输出波形。转换效率定义为输出波形上60Hz分量的功率因数。请计算两种情况下的效率。Switchat60Hz+-+-4.3周期信号的频谱及特点

4.3周期信号的频谱及特点

第四章傅里叶变换与频域分析解：由图(a)中的方波x1(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120

πrad/s.x1(t)的三角形式傅里叶系数为:4.3周期信号的频谱及特点第四章傅里叶变换与频域分析由图(b)中的方波x2(t)可知，T=1/60s,Ω=2π/T=120πrad/s.x2(t)的三角形式傅里叶系数为:x2(t)知识点Z4.13非周期信号的频谱第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.非周期信号的频谱2.频谱密度函数基本要求：1.了解由非周期信号频谱引出非周期信号频谱的过程2.掌握频谱密度函数的基本概念4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析T→∞时，

f(t):周期信号→非周期信号;

谱线间隔=2π/T

→0，谱线幅度→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。回忆Z4.13非周期信号的频谱——频谱密度函数不变，T↑，幅度↓，间隔↓，频谱变密。4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换1.引出4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小，但无穷小量之间相对大小仍有差别，引入频谱密度函数。T→∞时0

f(t):周期信号非周期信号谱线间隔0离散频谱连续频谱4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析(单位频率上的频谱）T→∞时

Ω→dω（无穷小量）

nΩ→ω（离散→连续）称为频谱密度函数，简称频谱函数。2.频谱密度函数知识点Z4.14傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析主要内容：1.傅里叶变换2.傅里叶反变换基本要求：1.熟练掌握傅里叶变换和傅里叶反变换的计算公式2.了解傅里叶变换存在的条件4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析F(jω)称为f(t)的傅里叶变换。F(jω)一般是复函数，写为幅度频谱，频率ω的偶函数相位频谱，频率ω的奇函数1.傅里叶变换4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析∑→∫于是f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数2.傅里叶反变换T→∞时Ω→dω（无穷小量）

nΩ→ω（离散→连续）4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换

第四章傅里叶变换与频域分析傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式“+”简记为：F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)↔F(jω)3.傅里叶变换对4.4非周期信号的频谱—傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数

f(t)的傅里叶变换存在的充分