热学第3章-输运理论和分子动理论的非平衡态理论

第三章:输运现象与分子动理论的

非平衡态理论

当气体处于非平衡状态下，气体内部或者各部分的温度不相等，或者各部分的质量不相等，或者气体各层流速不同，或者这三者同时存在。在这些非平衡状态下，气体内部将有能量、质量或动量从一个部分向另一个部分定向迁移。这种由非平衡态向平衡态的变化过程就是气体的输运过程。

§3.1黏性现象的宏观规律

§3.2扩散现象的宏观规律

§3.3热传导现象的宏观规律§3.4气体分子平均自由程

§3.5气体输运系数的导出

§3.1黏性现象的宏观规律

一.层流（laminalflow）

直圆管中流体的流线图

分层流动，质点轨迹相同，不重叠。

层流在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别，不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称为层流。

湍流（turbulence）质点除了沿着管道向前运动外，各质点还作不规则的，杂乱的运动，且彼此间相互碰撞，相互混合，质点速度的大小和方向随时发生变化，这种流型叫湍流或紊流。湍流

流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相对“滑动”的切向作用力与反作用力

流动较快的一层流体减速，流动较慢的一层流体加速---这种相互作用力称为黏性力（viscousforce）（内摩擦力）.二.稳恒层流中的黏性现象对于面积dA的相邻两流体层若某层流体的速度为u，在其垂直距离为Δz处的邻近流体层的速度为u+Δu，则Δu/Δz在表示速度沿法线方向上的变化率，称为速度梯度（du/dz

）.各层流体的流速不再随时间变化，这种流动称为稳定流动。牛顿黏性定律：η的单位为帕.秒(N.s.m-2)、泊（P）

.

1P=0.1N.s.m-2

A为流层的切面积η:黏度或黏性系数、黏滞系数（coefficientofviscosity)

.(1)η与材料性质有关,易于流动的流体其黏度较小；说明(2)黏度与温度有关.黏度：表示单位速度梯度、单位面积上的黏性力的大小。三.气体黏性微观机理

常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。

由于气体分子无规的热运动，在相邻流体层间交换分子对的同时，交换相邻流体层的定向运动动量。以上讨论的仅是常压下的气体。对于压强非常低的气体以及所有的液体，其微观机理都不相同。说明§3.2扩散现象的宏观规律

当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象称为扩散。一.自扩散与互扩散（self-diffusionandinter-diffusion）

互扩散:发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均匀，各种成份分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。

A,B：温度相同，压强相同，数密度相同。

自扩散:这是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。CO2(C12,C14)二.菲克定律（Fick’slaw）

D:扩散系数(diffusioncoefficient)单位:平方米/秒（m2s-1)扩散系数的大小表征了扩散过程的快慢。

同样，单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度之间的关系

粒子流密度：负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。物理意义在一维(如z方向)扩散的粒子流密度JN与粒子数密度梯度dn/dz成正比。两个体积都为V的容器用长为L、横截面积A很小（LA《V）的水平管道连通，开始时左边容器中盛有分压强为p0的CO和分压强为p-p0的N2组成的混合气体，右边容器中盛有压强为p的纯N2气体，设CO向N2中扩散及N2向CO中扩散的扩散系数都为D，试求出左边容器中CO的分压强随时间变化的函数关系.例3.1LAvCO,N2N1N2LA<<VN2解：设n1和n2分别为左、右两容器中一氧化碳的数密度，则管道中CO由左至右的数密度梯度大小为：则左→右CO粒子流率为左→右CO粒子流率：CO分压：

三.气体扩散的微观机理

扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间不均匀性的情况下，由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。

1.应把扩散与流体由于空间压强不均匀所产生的流体流动区别开来——成团粒子整体定向运动所产生。2.以上讨论的都是气体的扩散机理，至于液体与固体，由于微观结构不同，其扩散机理也各不相同。说明§3.3热传导现象的宏观规律

当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时就有热量的传输，称热传递.

若物体各部分之间不发生相对位移，仅借分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而引起的热量传递称为热传导（导热）。热传递的基本方式：热传导过程存在热流，因而是非平衡态。热传导过程存在能量迁移，因而是物质的输运现象。§3.3.1傅里叶定律一.

傅里叶定律（Fourierlawofheatconduction

)傅里叶定律认为热流（单位时间内通过的热量）与温度梯度及横截面积A成正比，即其中比例系数称为热导系数（heatconductivity）,其单位为瓦/(米.开)负号表示热量向温度减小的方向输运设物体的温度沿z轴方向变化，在z=z0处垂直于z轴取一截面A。

引入热流密度JT（单位时间内在单位截面积上流过的热量）各种物质的导热系数大致范围金属：2.3--420w/(m.k)建材：0.25--3w/(m.k)绝缘材料：0.025—0.25w/(m.k)液体：0.09—0.6w/(m.k)气体：0.006—0.4w/(m.k)热导系数在数值上等于单位温度梯度下、单位导热面积上的导热速率。它表征物质导热能力的大小。二.热传导的微观机理

热传导是由于分子热运动强弱程度（即温度）不同所产生的能量传递。（1）气体：当存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子，在空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发生能量的迁移。气体内的热传导过程是分子热运动平均动能输运的宏观表现。（2）固体和液体

其分子的热运动形式为振动。温度高处分子热运动能量较大，因而振动的振幅大；温度低处分子振动的振幅小。热运动能量借助于相互联接的分子的频繁的振动逐层地传递开去的

一般液体和固体的热传导系数较低

。但是金属例外.例3.2

一半径为b的长圆柱形容器在它的轴线上有一根半径为a、单位长度电阻为R的圆柱形长导线。圆柱形筒维持在定温，里面充有被测气体。当金属线内有一小电流I通过时，测出容器壁与导线间的温度差为△T。假定此时稳态传热已达到，因而任何一处的温度均与时间无关。试问待测气体的热导率是多少？a长为L,半径为r的圆柱面上通过的总热流为

达到稳定态时任意位置的热流相同，则有：输运过程三个宏观规律的比较

(ComparisonofThreeMacroscopicLawofTransportProcess)p黏性现象或Np或分子数密度n不均匀驱动力由于存在速度梯度、分子数密度梯度、温度梯度造成了动量、质量、能量的输运传递，形成了动量流、粒子流、热流。这些输运中的“流”与产生这些流动的“驱动力”是线性关系，称线性输运

分子碰撞模型：

分子可看作具有一定体积的刚球；分子间的碰撞是弹性碰撞；两个分子质心间最小距离的平均值认为是刚球的直径，称为分子的有效直径，用d表示。§3.4气体分子平均自由程

一、碰撞（散射）截面

两分子作对心碰撞

d是两分子对心碰撞时相互接近最短质心间距离dd=分子碰撞有效直径

若定义B分子射向A分子时的轨迹线与离开A分子时的迹线间的交角为偏折角。则偏折角随B分子与O点间垂直距离b的增大而减小。令当b增大到偏折角开始变为零时的数值为d，则d称为分子有效直径

B分子平行射向静止的A分子时轨迹图.分子碰撞有效直径d=存在相互作用时的距离

由于平行射线束可分布O的四周，这样就以O为圆心“截”出半径为d的垂直于平行射线束的圆。圆的面积为分子散射截面，也称分子碰撞截面。(1)在碰撞截面中最简单的情况是刚球势。这时，不管两个同种分子相对速率多大，分子有效直径总等于刚球的直径

.对于有效直径分别为d1、d2的两刚球分子间的碰撞，其碰撞截面为说明(2)对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌.二、分子间平均碰撞频率

平均碰撞频率------单位时间内一个分子平均碰撞的次数

讨论碰撞截面时假定视作盾牌的被碰撞的A分子静止，视作质点的B分子相对A运动，去碰撞A。现在反过来，认为所有其它分子都静止，而A分子相对于其它分子运动，显然A分子的碰撞截面这一概念仍适用.

这时A分子可视为截面积为σ的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心轴方向以速率v12

运动.

单位时间内A分子所扫出的“圆柱体”中的平均质点数，就是分子的平均碰撞频率A考虑实际上所有的分子都在运动,并且速率各不相同,对于同种气体,将修正为:因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为其中。

说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温度越低）分子间碰撞越频繁。例3.3：空气分子有效直径为3.5×10-10m。估计在标准状况下空气分子的平均碰撞频率。解：三、气体分子平均自由程

平均两次碰撞之间走过的距离----平均自由程，以表示可得

将代入

对于同种气体,平均自由程与平均速率无关，与分子有效直径、压强及分子数密度有关。[例3.4]

试求标准状况下空气分子的平均自由程。解：四、气体分子碰撞的概率分布

若一分子在x=0处刚好被碰撞过，则以后遭受第二次碰撞的时间完全是随机的。所以它在两次碰撞之间走过的路程也是随机的。

为了描述这种随机性质，必须找到它在x~x+dx

范围内受到碰撞的概率，即分子的自由程处于x~x+dx

范围内的概率。1.气体分子的自由程分布

导出分子自由程分布的一种方法是制备N0个分子所组成的分子束。分子束中的分子恰好在同一地点（x=0处）刚被碰过一次，以后都向x方向运动。分子束在x~x+dx范围内所减少的分子数dN自由程分布

假如在t时刻、x处剩下N

个分子，经过dt时间，分子束运动到x+dx处又被碰撞掉dN个分子（即自由程为x~x+dx

的分子数为–dN)，在x~x+dx

距离内所减少的分子数dN与x处的分子数N成正比，也与dx的大小成正比。xyz0xx+dx0tt+dtN0NN+dN对上式积分，可得

上式表示从x=0处射出的刚碰撞过的N0

个分子，它们行进到x

处所残存的分子数，N是按指数衰减的。分子自由程的概率分布平均自由程将上式代入

分子束行进到x处的残存的概率，也是自由程从x

到无穷大范围内的概率分子在x到x+dx距离内受到碰撞的概率P(x)dx

分子自由程的概率分布例3.5：求1mol理想气体分子自由程在λ1~λ2之间的分子数及此间隔内分子的平均自由程。解：§3.5气体输运系数的导出

*输运过程都是近平衡的非平衡过程*气体既足够稀薄又不是太稀薄l

三个假设：(1)局域平衡假设.(2)一次碰撞同化假设.(3)缓慢变化假设.一、气体黏性系数的导出

在层流流体中，每个分子除有热运动动量外，还叠加上定向动量。

个分子向z0方向运动，每个气体分子的运动速率均为

，时间内从上方穿过z0平面上的面积元向下运动的平均分子数为局域平衡

假设所有从上面（或从下面）穿越Z0平面的分子，平均说来都分别是来自或处，每个质量为m的分子的定向动量分别为

,△t时间内越过z=z0平面的△A面积向上输运的总动量△t时间内越过z=z0平面的△A面积向下输运的总动量一次碰撞同化黏性力

分子平均自由程并不很大，这说明在z方向间距为的范围内，定向速率的变化与相比小得多,因而可作泰勒级数展开并取一级近似，有

考虑到在近平衡的非平衡条件下，气体定向运动的速度梯度较小缓慢变化净输运的总动量净动量输运比较后即可知黏性系数为利用气体的密度的关系*讨论（1）与n无关。(2)仅是温度的函数。实验（3）利用下式可以测定气体分子碰撞截面σ及气体分子有效直径d的数量级。（4）黏性系数公式的适用条件为（5）采用不同近似程度的各种推导方法的实质是相同的。上面的推导中采用了如下近似:①②平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在处经受一次碰撞的；③未考虑分子从上（或下）方穿过z0平面时的碰撞概率。若进一步考虑碰撞概率，可证明：平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在处遭受上一次碰撞的，而单位时间内从上（或下）方穿过z0平面上单位面积的分子数是个，由此仍可求得二、气体热传导系数的导出

气体热传导是在分子热运动过程中交换分子的同时所伴随的能量传输，其讨论方法与上节类同。不同仅是在z轴方向不存在定向运动速率梯度，而存在温度梯度。若的数值较小，就可假定恰在