定积分在几何学上的应用

定积分在几何学上的应用541第一页，共五十二页，2022年，8月28日542学习指导熟练运用定积分计算直角坐标系和极坐标系中平面图形的面积；熟练运用定积分计算旋转体的体积和平行截面为已知的空间立体的体积；熟练运用定积分计算平面曲线的长度。第二页，共五十二页，2022年，8月28日543注意事项直角坐标系中求平面图形的面积时可能选X作为积分变量，也可能选Y作为积分变量，需视具体情况而定；求旋转体的体积时要注意旋转轴和积分变量；要注意平面曲线的数学表达式的具体形式，相应的计算曲线长度的公式有所不同，需区分清楚。

第三页，共五十二页，2022年，8月28日544一、平面图形的面积1、直角坐标情形2、极坐标情形第四页，共五十二页，2022年，8月28日545曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形第五页，共五十二页，2022年，8月28日546面积元素例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点第六页，共五十二页，2022年，8月28日547两曲线的交点解选为积分变量第七页，共五十二页，2022年，8月28日548解先求两曲线的交点。第八页，共五十二页，2022年，8月28日549如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第九页，共五十二页，2022年，8月28日5410一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积第十页，共五十二页，2022年，8月28日5411例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式第十一页，共五十二页，2022年，8月28日5412例4.求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:第十二页，共五十二页，2022年，8月28日5413小结第十三页，共五十二页，2022年，8月28日5414第十四页，共五十二页，2022年，8月28日5415第十五页，共五十二页，2022年，8月28日54162.极坐标情形在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标是二维坐标系

x=r*cosθ,y=r*sinθ,极坐标简介第十六页，共五十二页，2022年，8月28日54172.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为第十七页，共五十二页，2022年，8月28日5418第十八页，共五十二页，2022年，8月28日5419第十九页，共五十二页，2022年，8月28日5420对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2

所围图形面积.第二十页，共五十二页，2022年，8月28日54212a例6.计算心形线所围图形的面积.解:第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日5422例7.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日5423立体体积的计算1、旋转体体积计算方法2、平行截面面积为已知的立体体积第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日5424圆柱圆锥圆台1、旋转体体积计算方法旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.直线叫做旋转轴.第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日5425旋转体的体积为第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日5426第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日5427第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日5428例1解第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日5429第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日5430

解

轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.

旋转椭球体的体积为

例2

计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.

第三十页，共五十二页，2022年，8月28日5431

例3

计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.

解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日5432

例3

计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.

解

设曲线左半边为x=x1(y),右半边为x=x2(y).

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为63a3

.

第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日5433体积元素为例4*解第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日54342、平行截面面积为已知的立体体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日5435

设立体在x轴上的投影区间为[a,

b],

立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).

立体的体积元素为

立体的体积为A(x)dx.第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日5436截面面积为A(x)的立体体积：

例5

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,

并与底面交成角.

计算这平面截圆柱所得立体的体积.

建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.

所求立体的体积为

解

立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日5437

例6

求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.

建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.于是所求正劈锥体的体积为截面面积为A(x)的立体体积：

解

立体中过点x且垂直于x轴的截面面积为第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日5438三、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念2、平面曲线弧长的计算第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日54391、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日5440弧长元素(弧微分):因此所求弧长2、平面曲线弧长的计算（1）直角坐标情形:曲线弧由直角坐标方程给出第四十页，共五十二页，2022年，8月28日5441曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长（2）参数方程情形第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日5442（3）极坐标方程情形:曲线弧由极坐标方程给出第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日5443所求弧长为例1解第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日5444例2解积分上限函数的性质第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日5445例3.

两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线,求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日5446例4证第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日5447根据椭圆的对称性知故原结论成立.第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日5448

弧长元素为从而,所求弧长例5解第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日5449例6解第四十九页，共五十二页，2022年，8月28日5450例7解第五十页，共五十二页，2022年，8月28日54511、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；四、小结2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以极坐标为积分变量