材料力学第7章梁的变形

梁的变形第七章第七章梁的变形§7-1概述§7-2梁的挠曲线的近似微分方程§7-3积分法计算梁的位移§7-4叠加法计算梁的位移§7-5梁的刚度校核§7-6简单超静定梁目录§7-1概述7-1基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向下为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。顺时针为正7-2§7-1概述CC’推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响目录§7-2梁的挠曲线的近似微分方程由数学知识可知：y=f(x)上任一点曲率公式为略去高阶小量，得所以§7-2梁的挠曲线的近似微分方程（）（7-1）挠曲线近似微分方程由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§7-2梁的挠曲线的近似微分方程

(7-2)§7-3积分法计算梁的位移挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3(7-3)(7-4)积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形目录§7-3积分法计算梁的位移例7-1一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，梁的EI已知，求自由端截面的转角和挠度。解1）建坐标写出x截面的弯矩方程2）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次§7-3积分法计算梁的位移3）由位移边界条件确定积分常数代入求解4）确定转角方程和挠度方程5）确定自由端转角和挠度§7-3积分法计算梁的位移转角为正值说明B截面顺时针转动。挠度为正值说明挠度是向下的。例7-2一受均布荷载的等截面简支梁如图，梁的EI已知，求梁的最大挠度和B截面的转角。解建坐标，弯矩方程为§7-3积分法计算梁的位移挠曲线的近似微分方程式为积分一次再积分一次梁的边界条件为代入得：转角方程式和挠度方程式分别为：§7-3积分法计算梁的位移求最大挠度：因梁和梁受荷载是对称的，所以最大挠度发生在跨中x=l/2代入挠曲线方程得最大挠度：x=l代入转角方程得B截面转角为：例7-3等截面简支梁上作用一集中力F，梁的弯曲刚度为EIZ，求C截面的挠度和A截面的转角。解建坐标，求梁的支反力§7-3积分法计算梁的位移两段的挠曲线的近似微分方程式及积分分别为：AC段：弯矩方程为：AC段：CB段：一次积分二次积分§7-3积分法计算梁的位移一次积分二次积分CB段：四个积分常数，需列四个方程：边界条件：连续条件：将边界条件和连续条件代入挠度、转角方程得：§7-3积分法计算梁的位移CB段：AC段：C截面的挠度为：x1=a代入AC段挠度方程式A截面转角：x1=0代入AC段转角方程式：§7-3积分法计算梁的位移积分法求位移步骤（1）建坐标系，先列弯矩方程（2）建立挠曲线的近似微分方程（3）对微分方程积分得转角、挠度积分方程转角积分方程挠度积分方程（4）列边界条件或连续条件求积分常数，得转角、挠度方程注意：弯矩方程为n个时，有2n个积分常数，需列2n个条件方程。讨论积分法求位移有什么优缺点？§7-3积分法计算梁的位移为了实用上的方便，总结了各种常见荷载作用下转角、挠度方程：P131表7-1叠加法：梁在若干个简单载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个简单载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§7-4叠加法计算梁的位移例

已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC

；A截面的转角B1）将梁上的载荷分解2）查表7-1得2种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解§7-4叠加法计算梁的位移X=l/2X=0X=l/2X=03）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

§7-4叠加法计算梁的位移叠加法适用范围：小变形，材料处于弹性阶段且符合胡克定律（线弹性范围内）。例7-4一悬臂梁，q、l、EI均为已知。求自由端转角和挠度。梁在荷载作用下挠曲线如虚线所示，其中B’C’为直线，所以C、B两截面转角相同。C截面挠度可视为两部分组成：yB、ya(B’C’绕B’点转动θB）解§7-4叠加法计算梁的位移因小变形，ya可用aθB来表示。所以：C截面挠度为：例7-5已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

解§7-4叠加法计算梁的位移3）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。

§7-4叠加法计算梁的位移讨论叠加法求变形有什么优缺点？§7-4叠加法计算梁的位移在建筑工程中，一般只校核挠度§7-5梁的刚度校核刚度条件：式中：——最大挠度；l——梁的跨度；——挠度容许值与跨长比值，根据不同工程用途，规范值不同，一般给定或可查§7-5梁的刚度校核例7-7一承受均布荷载的简支梁如图，已知l=6m，q=4kN/m,,梁采用22a号工字钢，E=2×105MPa。试校核梁的刚度。解：查得工字钢的惯性矩为：梁跨中的最大挠度为：满足刚度要求。§7-6简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6§7-6简单超静定梁2.求解方法——比较变形法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。7-6解例

求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统3）进行变形比较，列出变形协调条件§7-6简单超静定梁4）由物理关系，列出补充方程所以5