相似三角形及比例线段课件

相似形全等的两个图形也是相似形全等形与相似形有何关系？（1）全等形是相似形的特殊情况;（2）相似形包括全等形.

把形状相同的图形称为相似的图形，简称相似形.（1）相似形的形状必须同，大小不一定等;（2）当大小相等时，相似形变成全等形.注意PA′B′C′ABC相似形的性质∵△ABCS△A′B′C′如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.相似图形的性质：

各对应角相等，各对应边成比例。

这既是两个相似的图形的性质，又是判定的依据。

正方形是相似的图形吗？等边三角形是相似的图形吗？矩形是相似的图形吗？等腰三角形是相似的图形吗？直角三角形是相似的图形吗？等腰直角三角形是相似的图形吗？两个正方形两个等腰直角三角形两个图形的相似与对应的角度有关,也与对应边的比有关.大家说

生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例.ABCA1B1C1例题1如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似形，点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1分别是对应顶点，若BC=3，CD=2.4，A1B1=2.2，B1C1=2，∠B=70度，∠C=110度，∠D=90度，求边AB、C1D1的长和∠A1的度数.DABCD1A1B1C1例题讲解塔原高146.59米，因顶端剥落，现高136.5米，相当于一座40层摩天大楼，塔底面呈正方形，占地5.29万平方米.EABCDabcx复习引入：相似形——形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形。

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动

相似多边形的性质：

如果两个多边形是相似形，那么它们的对应角相等，对应边成比例。比例线段在同一单位下，两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比，记作a:b或。BACB1A1C1ba单位：同一顺序：一致结果：正数无单位分数要化成最简分数其中,线段a,b分别叫做这个线段比的前项和后项。新课讲解①若a=148mm，b=220mm，求a∶b；②若a=148mm，b=22cm，求b∶a．结论：1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正数,它没有单位.2.两条线段的比是有顺序的;3.两条线段比与所选的长度单位无关.4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比.5.比的性质同分数的性质.练习:2.如果两条线段的比与另两条线段的比相等叫做这四条线段

，简称

.成比例线段比例线段如果比例的两个内项（或者两个外项）相同，那么这个相同的项叫比例中项。对于四条线段a、b、c、d，如果那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.那么a、b、c、d

叫做组成比例的项，其中a,d叫做比的外项,b,c叫做比的内项,d叫做a、b、c的第四比例项.如果作为比例内项的是两条相同的线段

，即abbc

=或a：b=b：c，那么线段

b

叫做线段a和c的比例中项.BCDA5025B`C`D`A`2010AB50BC25∵==2，A`B`20B`C`10==2，ABA`B`BCB`C`∴=.因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.1、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求下列线段的比值：数学操：（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC2、已知：3、线段a、c的积是625，则a、c的比例中项是

。

4、已知3x-5y=0，则x：y=

.

两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关于成比例的数具有下面的性质.比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质：（1）比例的基本性质：比例的外项之积等于内项之积特殊地：a∶b=b∶cb=ac.2如果ad=bc.则可得到或如果a：b=c：d

，那么ad=bc.a

cb

d

=即练习1—1：如果PAPCPBPD=，那么PA·PD=如果CDDFEBAD=，那么AD·CD=如果ACBDEFEA=，那么EF·BD=如果HEHFNFNK=，那么HF·NF=PB·PC；EB·DF；AC·EA；HE·NK；练习1—2：如果ADPBPBBC=，那么AD·BC=如果DEDFDFDC=，那么DE·DC=如果SBEFEFSC=，那么EF2=如果MANFNFMB=，那么NF2=PB2；DF2；SB·SC；MA·MB.练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE对调内项，比例仍成立！练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE对调外项，比例也成立！说明：(1)一个等积式可以改写成八个比例式(比值各不相同)；(2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立(比值变了).acbd

=abcd

=dcba

=.练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE说明：同时对调比例式两边的比的前后项，比例式仍然成立(比值变了).acbd

=bdac

=.(2)合比性质如果那么（分母不为0）练习3—1：如图，已知ACBC=，那么ABDEBCEF=，DFEF理由：ABDEBCEF=ACDFBCEF=.AB+BCDE+EFBCEF=ABCDEF练习3—2：如图，已知ACAB=，那么ABDEBCEF=，DFDE理由：ABDEBCEF=AB+BCDE+EFABDE=BCEFABDE=ACDFABDE=.ABCDEF练习3—3：如图，已知BCAB=，那么ACDFBCEF=，ABCDEFEFDE理由：ACDFBCEF=AC–BCDF–EFBCEF=ABDEBC EF=BCEFABDE=.练习3—4：如图，已知AEAB=，那么BECFEAFA=，AFAC理由：BECFEAFA=AE+BEAF+CFAEAF=ABACAEAF=AEAFABAC=.ABCEF练习3—5：如图，已知AEAB=，那么BECFABAC=，AFAC理由：BECFABAC=ABACBECF=AE+BEAF+CFAEAF=AEAFBE CF=AB–BEAC–CFBECF=BECFAE AF=AEAFABAC=.ABACAE AF=有没有简单方法？有！ABCEF(3)等比性质如果那么等比性质可以推广到任意有限多个相等比.等比性质：如果,那么

.（不可逆）（2）引入比值k的表示方法：如果把表示成比值k,即,则AB=k·CD。或注意：引入比值k的方法是解决比例问题的一种重要方法,以后经常会用到。比有前后顺序,相当于分子与分母acbd

=mn

=…==…=证明：设=k,则a=bk,c=dk,…m=nk,∴=a+c+…+mb+d+…+nbk+dk+…nkb+d+…n=(b+d+…n)kb+d+…n=k=.abacbd

=mn

a+c+…+mb+d+…+n=.ab分母之和不为零，？练习3—5：如图，已知AEAB=，那么BECFABAC=，ABCEFAFAC理由：BECFABAC=ACCFABBE=AC–CFAB–BE=AFACAE AB=AEAFABAC=.AFAEAC AB=AC–CFACAB–BE AB=AB–BE≠0x+y5x3y4y例1、已知=，求.解：∵=，x+y53y4x+y15

y4∴=，x+y–y15–4

y4∴=，x11y4∴=.例2、已知a：b：c=2：5：6，求的值.2a+5b–c3a–2b+c解：设===k,abc256则

a=2k,b=5k,c=6k,2a+5b–c3a–2b+c∴=4k+25k–6k6k–10k+6k=232.例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+ODOABCD分析：(1)OAACOAOA+OCOA+OCOAOCOA=23.例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(1)OCOA∴=，23OA3OC2∵=，OA+OCOA∴=，53AC5OA3即=，OA3AC5∴=；OABCD例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(2)OA+OBOC+OD∴=.32OAOB3OCOD2∵==，OABCDCABDE课本例1.已知：如图，求证：例题讲解练习1.若则

，

，

.

2.

4和9两数的比例中项是

.3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中项是

.7.下列各组线段的长度成比例的是（）（A）2，3，4，1（B）1.5，2.5，6.5，4.5（C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2，2，4D6.若a、b、c、

d成比例，且a=2，b=3，

c=4，那么d=___.6补充练习：

如图所示：皇帝决定把一个正方形的土地分给4个儿子，在正方形的土地中间有一片森林，有4处产金的地方，皇帝决定这样划分：每人一块产金之地，森林4人公共领地面积和形状完全相同，你想一想皇帝是怎样分的？森林ABP如图:如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.AP与AB的比值称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数,在应用时常取它的近似值0.618即〓〓〓0.618长=全×0.618短=长×0.6183.已知线段MN的长为8厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是

厘米，较短线段PN的长是

厘米.4.已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长是

厘米.

三角形一边的平行线CABDE课本例1.已知：如图，求证：例题讲解例：如图DE∥BC，求证：三角形一边的平行线性质定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线（或两边延长线），截得的对应线段成比例．ACDEBABCDEABCDE已知ＤＥ∥ＢＣ，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝６．求AＥ．1、如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.2、如图，在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求证：=AB·AD.三角形一边的平行线性质定理推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.ABCDEACDEB如图，已知E,F是△ABC中AB,AC边的中点，BF,CE相交于点G,求证：==1：2重心：

1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.ABCEFG1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长.2.如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长.3：已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8.求：①GC的长；②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长.

动脑筋D三角形三角形一边平行线判定定理

:如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

如果D,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.由，以上三个比例式中任何一个都可以推出DE∥BC

ACDEB1.已知：如图，点D,F在边AB上，点E在边AC上，且DE//BC，求证：EF∥DC.判断题:1、如图（1），在△ABC中,点D与点E分别在AB、AC上,AD=3cm,DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,则DE∥BC()。图（1）

2、如图（2），已知:BD与EC相交于点A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9.则DE∥BC。()图（2）

平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.即：AD∥BE∥CF

=＝=注意：此性质定理无逆定理（即无判定定理）L1∥L2∥L3

AB=BC

DE=EF

平行线等分线段定理：

两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。即：熟悉定理的几种变形井字型A字型X字型倒A字型畸形(O无用)O

如图AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求EF的长.作图题：已知线段a,b,c,求作线段x,使a：b=c：xabcBOACDMNabcx如果条件改为：或将如何作？在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，且AE：EB=5：3，（1）DC=16cm，求FC的长.（2）AD=6，BC=10，求EF的长.2）．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长.相似三角形的判定相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.ABCDEACDEB相似三角形的判定方法有：判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似.直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.相似三角形的性质相似三角形定理1：

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

相似三角形定理2：相似三角形周长比等于相似比.相似三角形定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

性质1和2可以概括为：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比.一定要证相似后，才能用它的性质.△ABC∽△ACD∽△CBD

如图：已知∠ABD=∠C，可知？△ACB∽△ABDAB2=AD·AC如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？先证明：△APN~△ABC由相似得出即求出x的值a:b=c:d，3.比例的基本性质：比例的基本性质ad=bcb是a、c的比例中项a:b=b:c（b2=ac）4.比例的其它性质：合比性质：（分母不为0）直线、射线与线段直线射线与线段，形状相似有关联。直线长短不确定，可向两方无限延。射线仅有一端点，反向延长成直线。线段定长两端点，双向延伸变直线。两点定线是共性，组成图形最常见。角一点出发两射线，组成图形叫做角。共线反向是平角，平角之半叫直角。平角两倍成周角，小于直角叫锐角。直平之间是钝角，平周之间叫优角。互余两角和直角，和是平角互补角。一点出发两射线，组成图形叫做角。平角反向且共线，平角之半叫直角。平角两倍成周角，小于直角叫锐角。钝角界于直平间，平周之间叫优角。和为直角叫互余，互为补角和平角。证等积或比例线段等积或比例线段，多种途径可以证。证等积要改等比，对照图形看特征。共点共线线相交，平行截比把题证。三点定型十分像，想法来把相似证。图形明显不相似，等线段比替换证。换后结论能成立，原来命题即得证。实在不行用面积，射影角分线也成。只要学习肯登攀，手脑并用无不胜解一元二次方程方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。ｂ.ｃ相等都为零，等根是零不要忘。ｂ.ｃ同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量,y=kx(k非0)是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数是否，