【创新方案】高考数学 第十章第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 A

1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(

)A．24个B．28个C．36个

D．48个解析：法一：按十位数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．法二：按个位数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．答案：C2．从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c，

则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线的条数

为(

)A．6B．20C．100D．120解析：分三步：第一步确定c，由抛物线过原点知c＝0，只有1种方法；第二步确定a，由抛物线顶点在第一象限知，抛物线开口向下，a从－2、－1中任选一个，有2种不同的方法；第三步确定b,从1,2,3中任选一个，有3种不同的方法．根据分步计数原理，所求的抛物线条数共有1×2×3＝6.答案：

A3．(2010·全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(

)A．30种

B．35种C．42种

D．48种答案：A4．4名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛，每人限报一项，报名方法有________种；若每个项目均有人参赛，则报名方法有________种(用数字作答)．答案：81

365.如图用6种不同的颜色把图中A、

B、C、D四块区域分开，若相

邻区域不能涂同一种颜色，则

不同的涂法共有__________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种．

答案：4801．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法．m＋nm×n2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法．考点一分类加法计数原理的应用[自主解答]

以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，即有20个符合题意的椭圆．若将“焦点在y轴”改为“焦点在x轴”呢？解：当m＝2时，n＝1，有1种选择；当m＝3时，n＝1，2，有2种选择；当m＝4时，n＝1，2，3，有3种选择；当m＝5时，n＝1,2,3,4，有4种选择；∴共有1＋2＋3＋4＝10种方法，即有10个符合题意的椭圆．高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三一班、二班或三班学生中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班的男生中，或从高三三班的女生中选一名学生任校学生会体育部部长，有多少种不同的选法？解：(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种．(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数是多少？考点二分步乘法计数原理的应用某乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五的位置，其余7名队员中有2名被安排在第二、四位置，求不同的出场安排有多少种．解：按出场顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法．第五位置队员的安排只有一种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.即共有252种出场方式．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？考点三两个计数原理的综合应用[自主解答]

用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的4位偶数？解：完成这件事可分为3类方法：第一类是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48个；第二类是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个；第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类．对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的4位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120个．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用是高考对本节内容的重要考查点，其中分类加法计数原理体现了分类讨论的思想，是高考的一个重要考向，其考查方式多以选择题或解答题为主．[考题印证]

(2010·天津高考)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有(

)A．288种B．264种C．240种D．168种[答案]

B1．两个原理的区别与联系两个原理是处理排列、组合问题的理论依据，它们都是把一个事件分解成若干个事件来完成，其区别在于分类计数原理中各类办法是相互独立的，而分步计数原理中各个步骤是相互依存的．2．两个计数原理的应用(1)分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性．分类加法计数原理中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理中的各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．(2)运用两个原理解决相关问题时，究竟先分类后分步，还是先分步后分类这应视具体问题而定．1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(

)A．60B．48C．36D．24解析：长方体的每一个面对应6个“平行线面组”，共有6×6＝36个；长方体的第一个对角面对应2个“平行线面组”，共有6×2＝12个．∴共有36＋12＝48个．答案：B解析：把8名运动员看作8家“店”，3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能．根据乘法原理，共有8×8×8＝83(种)不同的结果．答案：A3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有(

)A．6种

B．12种C．16种

D．24种答案：D4．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．答案：3365.某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)要在如图所示的6个点

A、B、C、A1、B1、C1上各安装一

个灯泡，要求同一条线段两端的灯

泡不同色，则不同的安装方法共有

________种．(用数字作答)答案：126．现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班各

7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外学习小

组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N