固体物理学-晶格振动与晶体的热学性质之一维单原子链

03_02一维单原子链

绝热近似

——用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场描述电子对离子运动的影响晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究

1)先计算原子之间的相互作用力2)根据牛顿定律写出原子运动方程——求解方程

——将电子的运动和离子的运动分开

一维无限单原子链——原子质量m，平衡时原子间距a

——原子之间的作用力

——第n个原子离开平衡位置的位移——第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数——平衡条件简谐近似

——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力——恢复力常数原子的运动方程——只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同方程解和振动频率

设方程组的解naq—第n个原子振动相位因子得到应用三角公式连续介质中的机械波波数格波方程

格波的意义晶体中的格波——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动波长——格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波向上箭头

——代表原子沿X轴向右振动向下箭头

——代表原子沿X轴向左振动格波波长格波波矢格波相速度不同原子间相差格波方程相邻原子的相差波矢的取值和布里渊区格波相邻原子相差——原子振动状态相同格波1的波矢相邻原子相差格波格波2的波矢相邻原子的位相差——波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同波矢的取值——相邻原子的相位差取值——

第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件——一维无限长单原子晶格___所有原子是等价的每个原子的振动形式都一样——实际晶体为有限，形成的链不是无穷长链两头的原子___不同于中间原子——N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环性——N很大，原子运动近似为直线运动设第n个原子的位移再增加N个原子之后第N+n个原子的位移则有要求——h为整数波矢的取值范围h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数波矢——格波的色散关系频率是波数的偶函数格波相速度—不同波长的格波传播速度不同色散关系——q空间的周期频率极小值频率极大值频率在之间的格波才能在晶体中传播其它频率的格波被强烈衰减——低通滤波器色散关系格波——长波极限当——格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致格波——短波极限——格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致——不同频率的格波传播速度不同长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差——晶格可看作是连续介质——相邻原子的振动相位相反——原子位移和简正坐标的关系

第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令原子坐标和简正坐标的变换——线性变换为幺正变换——有3N个取值原子位移和简正坐标的关系

——动能和势能的形式

——N项独立的模式动能的正则坐标表示原子位移为实数——正交性势能——系统势能哈密顿量——系统复数形式的简正坐标——势能——动能——实数形式的简正坐标令哈密顿量能量本征值声子——晶格振动的能量量子；或格波的能量量子当这种振动模处于时，说明有个声子本征态函数——一个简正坐标对应一个谐振子方程波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数

——声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用——晶格振动的问题