竞赛辅导-动力学1

《理论力学》、《工程力学》的

与——解题方法总结暨竞赛辅导系列讲座之四：动力学普遍定理的综合应用基础提高理学院力学教研室主要内容一、动力学普遍定理的结构二、动量法的应用及常见错误三、能量法的应用及一般步骤四、突解约束问题五、杂题举例一、动力学普遍定理的结构动能定理积分式微分式机械能守恒定律功率方程动量定理积分式微分式冲量定理质心运动定理动量矩定理冲量矩定理刚体定轴转动微分方程相对质心的动量矩定理微分式积分式刚体平面运动微分方程矢量方程，运动与外力的关系标量方程，运动与作功力的关系内容之二动量法的应用及常见错误图示均质圆盘转动惯量为J，其上绕以细绳，绳悬挂一重为P的重物。现在盘上加一力偶矩为的M力偶，设圆盘的角加速度为，问如下等式是否成立？MP正确的是：答：不成立。另一方面：若对轮使用定轴转动微分方程，绳子的拉力并不等于重物的重力，重物加速向上或向下会产生超重或失重的现象。错误原因：一方面：若对系统使用动量矩定理，上面等式中没有考虑到重物的惯性。二、动量法的应用常见错误图示鼓轮对轴的转动惯量为J，悬挂的重物的重量分别为P1、P2，求轮的角加速度的计算公式是否正确？P2P1O图示两齿轮对各自轴的转动惯量分别为J1、J2，求轮Ⅱ的角加速度的计算公式是否正确？O1O2M二、动量法的应用常见错误厚度及密度均相等的二大小均质圆盘，用铆钉固结在一起，将大盘的一面静止地放在光滑水平面上，在大盘上受有力偶的作用，力偶矩为2FR，如图所示。已知两圆盘的质量分别为m1=4kg、m2=1kg，半径R=2r=100mm，F=100N。试求其角加速度，又绕哪点转动？（1）根据质心运动定理可知：系统质心运动守恒，因初始静止，故质心位置不动。解：取大、小两圆盘组成质点系。（2）由质心坐标公式确定质心位置：质心C在O、O1点之间，距O点OC=r/5=20mm（3）求系统对质心的转动惯量：根据转动惯量的平行轴定理：（4）根据相对质心的动量矩定理求角加速度：FFORrO1C二、动量法的应用常见错误一均质轮的半径为R、质量为m，在轮的中心有一半径为r的轴，轴上绕两条细绳，绳端各作用一不变的水平力F1和F2，其方向相反，如图所示。如轮对其中心O的转动惯量为J，且轮只滚不滑，求轮中心O的加速度。RrF1F2F1F2mgaFNFsO对轮，由刚体平面运动微分方程有：运动学关系：解：以上方程联立求解可得：二、动量法的应用常见错误一细绳绕在半径为r＝0.5m，质量为m=15kg的均质圆盘上，在绳的一端有常力FT=180N向上拉动，细绳不可伸长。求（1）圆盘中心的加速度；（2）圆盘的角加速度；（3）细绳的加速度。rCAFTrCAFTmgαaCaC(aa)aCA(ar)aA(ae)C取轮心C为动点，绳子（直线段）为动系ae=aa-ar=aC-rα二、动量法的应用常见错误aCαhRPPFNFSOCmgaC例：图示均质磙子的质量为m，半径为R，对其质心轴C的回转半径为ρ。磙子静止在水平面上，且受一水平拉力P作用。设拉力P的作用线的高度为h，磙子只滚不滑，滚动摩阻忽略不计。求静滑动摩擦力Fs

，并分析Fs的大小和方向与高度h的关系对轮，由刚体平面运动微分方程有：运动学关系：解：以上方程联立求解可得：时，方向如图。二、动量法的应用常见错误例

图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量为J1，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。ABMAMFAxFAyFT1FT2BFBxFByFT2’FT1’注：轮和胶带的重力对轮轴的力矩为零，故图中没有将这些重力画出。二、动量法的应用常见错误二、动量法的应用常见错误运动学关系：分别对轴A、B，由动量矩定理得：将运动学关系与上面2式联立得：整理得：两边胶带张力之差为：图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求：（1）圆柱体B下落时轴心的加速度。运动学关系：联立解得：解：分别以轮A、B为研究对象。BOABmg

aB

FT1

OAmg

FT1

对A：对B：二、动量法的应用常见错误由刚体平面运动微分方程得：运动学关系：联立解得：解：Bmg

aB

FT1

对A：对B：图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求：（2）若在圆柱体A上作用一逆时针的力偶M，能使圆柱体B质心加速度向上的条件。BOAMOAmg

FT1

M为使aB>0：二、动量法的应用常见错误如图所示，质量为m的小车置于光滑水平面上。在小车的斜面上，放一质量为m1的均质圆柱。设圆柱与斜面间的静摩擦系数为fS，试分析使圆柱在斜面上作纯滚动的条件。θθFFNFsamg（1）研究小车，平动，列写牛二方程：（2）研究轮C，平面运动，列写平面运动微分方程为：FNFsm1gaarαCxx取小车为动系，轮心C为动点，作加速度分析，以建立aCx、aCy与a、α间的关系：故其中解得二、动量法的应用常见错误（3）上面6个方程（4个动力学方程+2个运动学条件）联立，解得：解得Fs、FN后，利用：得圆柱在斜面上纯滚动的条件：二、动量法的应用常见错误内容之三能量法的应用及一般步骤三、能量法的应用及一般步骤P2DO1AEIBFO2P1QQaAaBvAvB图示滑轮组中，定滑轮和动滑轮的重量均为Q，半径均为R，可视为均质圆盘。重物A重P1重物B重P2，且P1>P2+Q。求重物B的加速度。vO2三、能量法的应用及一般步骤已知：杆O1O2=l，重Q；力偶矩M；均质轮半径r，重P。求曲柄从静止由水平位置转过一角度后的角速度。O1O2rMv2质量为m，长为l的均质杆AB放在水平桌面上，其质心C到桌边缘O的距离为d。该杆从水平位置由静止释放，开始围绕桌子边缘O转动。若杆与桌边缘O之间的静摩擦系数为fS，试求开始滑动时杆AB与水平面之间的夹角。OABmgCFNFsatCanCαθω三、能量法的应用及一般步骤三、能量法的应用及一般步骤例

图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量为J1，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。ABM系统的动能：运动学关系：利用运动学关系，动能以ω1表达为：主动力（力偶）功率：由功率方程：解得：三、能量法的应用及一般步骤对一自由度理想约束系统，能量法的一般步骤写出系统动能的表达式取某一速度作为“特征速度”运动学关系：各速度以“特征速度”表示将系统动能写成此“特征速度”的表达式主动力的功（功率）动能定理的积分形式功率方程速度加速度约束力三、能量法的应用及一般步骤OACBPPC’A’B’FxFy图示系统，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。三、能量法的应用及一般步骤图示直角弯杆OAB，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。OABC解：设杆OAB的角速度为。系统动能为：由动能定理：即：解得：三、能量法的应用及一般步骤均质圆柱A和飞轮B的质量均为m，外半径均为r，中间用直杆以铰链连接。令它们沿斜面无滑动地滚下，假若斜面与水平面的夹角为，飞轮可视为质量集中于外缘的薄圆环，AB杆的质量可以忽略。求AB杆的加速度及其内力。ABBamgFBNFBsFT’AmgFANFAsFTa对轮A由刚体平面运动微分方程对轮B由刚体平面运动微分方程三、能量法的应用及一般步骤运动学关系：（压力）解得：讨论：两轮间连杆AB的内力为压力，说明若没有连杆AB的作用，则轮A将比轮B的加速度大（若两轮同时自静止运动，则轮A的速度将快于轮B）。这是由于虽然两轮的移动惯性相同，但轮A的转动惯性小于轮B。光滑接触接触面有摩擦比较接触面有摩擦接触面有摩擦接触面有摩擦课间休息内容之四突解约束问题四、突解约束问题的解法一圆环由绳AB和光滑斜面支撑。圆环的质量为10Kg、半径为2m。在圆环上，有一质量为3Kg的物块D与之固结。求在绳子剪断的瞬时，质点D的加速度。60°45°DBAErDAEFCm2gm1gDAEFC(m1+m1)gaOαOCDAEaOαaOOaCOCxyDAEaOαaOOaDOC四、突解约束问题的解法60°45°DBAErxyAEFCm1gODFDyFDxDm2gF′DxF′DyDAEaOαaOOaCOxy对圆环对球长为l，质量为m的两根相同的均质杆AB与BC铰接后一端A用铰链固定，另一端置于光滑水平面上。求在系统从图示位置无初速地开始运动的瞬时，水平面对杆的约束力。CBA60°CBF′ByF′BxmgDFCmgFBxFByBAαABaB（1）研究杆AB，定轴转动，列写定轴转动微分方程、运动学关系分别为：（2）研究杆BC，平面运动，列写平面运动微分方程为：①杆BC作平面运动，以B为基点，研究C点加速度，建立aB与αBC间运动学关系：CBDαBCaBaCaD2aD1atCBanCB其中投影于竖直方向得：四、突解约束问题的解法注意到解得：CBDαBCaBaCaD2aD1atDBanDB②以B为基点，研究D点加速度，建立aD1、aD2与aB间运动学关系：其中投影于水平及竖直方向得：注意到解得：（3）联立求解以上8个方程（4个动力学方程+4个运动学关系），可解得：四、突解约束问题的解法四、突解约束问题的解法例：图示系统，力F使A点以u匀速运动，绳OB=L/2。图示瞬时，运动至OB铅垂。求此瞬时OA杆的加角速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为L，质量为m分析：此题目给出了杆的运动，可以用刚体平面运动微分方程求出未知力。四、突解约束问题的解法其中投影于轴，得：瞬时平动四、突解约束问题的解法其中：于是可得：内容之四动力学杂题五、动力学杂题质量为m的物体A带动单位长度的重量为q的柔链，以速度v0向上抛出。若柔链有足够的长度，求重物所能达到的最大高度h。Av0此过程中机械能守恒T0+V0=T+V初始机械能：T0+V0=0.5mv20+0=0.5mv20末状态机械能：T+V=0+mgh+0.5qh2=mgh+0.5qh20.5mv20=mgh+0.5qh2qh2+2mgh-mv20=0五、动力学杂题质量相同的三质点A，B，C以等距离系于柔绳