第10章 齿轮机构及其设计

返回第十章齿轮机构及其设计§10-1

齿轮机构的特点及类型§10-2

齿轮的齿廓曲线§10-3

渐开线齿廓及其啮合特点§10-4

渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸§10-5

渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动§10-6

渐开线齿廓的切制原理及根切现象§10-7

渐开线变位齿轮简介§10-8

斜齿圆柱轮传动§10-9

直齿锥齿轮传动§10-10

蜗杆传动§10-1

齿轮机构的应用及分类1．齿轮机构的应用（1）应用实例

例1

某航空发动机附件传动系统

例2

桑塔纳轿车的主传动系统（2）传动特点齿轮传动用来传递空间任意轴间的运动及动力；传递功率范围大；传动比准确；效率高、寿命长、安全可靠。制造成本较高。优点：缺点：2．齿轮机构的分类（1）平行轴间的传动（2）相交轴间的传动（3）交错轴间的传动直齿轮传动斜齿轮传动人字齿轮传动直齿圆锥齿轮传动斜齿圆锥齿轮传动曲线齿圆锥齿轮传动交错轴斜齿轮传动蜗杆传动准双曲面齿轮传动外啮合传动内啮合传动齿条与齿轮传动齿轮机构的应用及分类(2/2)

点P称为两轮的啮合节点(简称节点）。

都与其连心线O1O2被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反比。§10-2

齿轮的齿廓曲线1.齿廓啮合的基本定律一对齿轮传动是依靠它们的共轭齿廓来实现的。由瞬心概念知，两轮的传动比为此式表明：一对齿轮在任意位置时的传动比，这个规律称为齿廓啮合基本定律。

所谓共轭齿廓是指两轮相互连续接触传动并能实现预定传动比规律的一对齿廓。

也可按给定的传动比来求得两轮齿廓的共轭曲线。根据这一定律，可求得齿廓曲线与齿廓传动比的关系；i12=ω1／ω2=O2P／O1P

过接触点所作的两齿轮廓公法线必须与其连心线相交于一定点。齿轮的齿廓曲线(2/2)1）实现定传动比传动时两轮齿廓应满足的条件无论两轮齿廓在何位置接触，故必为圆形齿轮传动。2）实现变传动比传动时对两齿轮齿廓曲线的要求故必为非圆齿轮传动。要求两齿廓的节点按其传动比的变化规律在其连心线上移动。 §10-3渐开线齿轮的啮合特点

1．渐开线的形成及其特点（1）渐开线的形成（2）渐开线的特性1）发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长；2）渐开线上任意点的法线恒切于基圆；3）渐开线愈靠近基圆的部分，曲率半径愈小；4）渐开线的形状取决于基圆的大小；5）基圆内无渐开线。2．渐开线的函数及渐开线方程式

在研究渐开线齿轮传动时，常常需要用到渐开线的函数及渐开线数学方程式。

渐开线上的压力角是变化的，随rk增大而增大。（1）渐开线压力角αk=∠BOKαk=arccos

(rb/rk)（a）结论（2）渐开线函数tanαk=BK/rb=AB/rb（（=rb(αk+θk)/rb=αk+θk故invαk=θk=tanαk－αk（b）式中invαk称为渐开线函数（即展角θk），是压力角αk的函数。（3）渐开线的极坐标方程式θk=invαk=tanαk－αkrk=rb

/

cosαk（c）渐开线齿廓的啮合特点(2/3)

即使两齿轮的实际中心距与设计中心距有偏差，也不会影响其传动比的这一特性，

故在传动过程中，其正压力方向是始终不变的。3．渐开线齿廓的啮合特点渐开线齿廓的啮合特点(3/3)（1）渐开线齿廓能保证定传动比传动（2）渐开线齿廓之间的正压力方向不变因渐开线齿廓之间的正压力方向沿其接触点的公法线方向，即为啮合线，且为一定直线N1N2。（3）渐开线齿廓传动具有可分性一对渐开线齿轮传动，

称为渐开线齿轮传

动的可分性。这对于齿轮的装配和使用都是十分有利的。

结论正是由于上述优点，故渐开线齿轮传动获得十分广泛应用。i12=ω1/ω2=O2P/O1P=consto§10-4

标准齿轮的基本参数和几何尺寸1．齿轮各部分的名称和符号齿顶圆ra，da齿根圆rf，df齿厚任意圆齿厚si分度圆齿厚s齿槽宽任意圆齿槽宽ei分度圆齿槽宽e齿距任意圆齿距pi=si+ei分度圆齿距p=s+e分度圆r，d齿顶，齿顶高ha齿根，齿根高hf齿全高h=ha+hf基圆rb，dbpnrhahfhrbBppbsesieirfpira标准直齿圆柱外齿轮基圆齿距Pb、Pn

由于齿轮的分度圆直径d可由其周长zp确定，即

d=zp/π。为便于设计、计算、制造和检验，令p/π=m，m称为齿轮的模数。2．齿轮的基本参数齿数

z模数

m，其单位为mm，且已标准化了（表10-1,标准模数系列表）它是决定齿轮大小的主要参数，d=mz。它是决定齿轮齿廓形状的主要参数。齿顶高系数

ha*，其标准值为ha*=1。顶隙系数

c*，其标准值为c*=0.25。上述参数即为渐开线齿轮的五个基本参数。标准齿轮的基本参数和几何尺寸(2/3)压力角α，即分度圆压力角，并规定其标准值为α=20。。3．标准齿轮及其几何尺寸计算（1）标准齿轮是指m、α、ha*、c*均为标准值，且e=s的齿轮。（2）标准齿轮的几何尺寸计算

一个标准齿轮的五个基本参数确定之后，其主要尺寸及齿廓形状就完全确定。1）标准直齿轮的几何尺寸计算2）标准直齿轮的任意圆齿厚计算4．齿条和内齿轮

（1）齿条：齿条的齿廓为直线；齿廓上各点压力角相同，等于其齿形角。

（2）内齿轮：内齿轮的齿廓为内凹齿；齿根圆大于齿顶圆；齿顶圆必须大于基圆。标准齿轮的基本参数和几何尺寸(3/3)

因此要两轮能正确啮合，应使处于啮合线上的多对轮齿能同时进入啮合。§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

1．齿轮正确啮合的条件

一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应位于其啮合线上。即应满足两齿轮的法向齿距相等，即π

m1cosα1=π

m2cosα2故m1=m2=mα1=α2=

α

结论一对渐开线齿轮正确啮合的条件是两轮的模数和压力角应分别相等。

结论当两标准齿轮按标准中心距安装时，既能保证两轮顶隙为标准值，又能保证齿侧间隙为零，2．中心距及啮合角（1）中心距1）在确定传动中心距时应满足的要求：①保证两轮的齿侧间隙为零，即c′=0。②保证两轮的顶隙为标准值，即c=c*m2）标准中心距

aa=r1+r2=m(z1+z2)/2

即c=c*m,c′=0。渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动(2/6)当两轮实际中心距a′与标准中心距a不同时，则：若

a′＞a

时，r1′＞r1，r2′＞r2；c′＞0，c＞c*m；α′＞α。若

a′＜a

时，两轮将无法安装。（3）齿轮传动的中心距与啮合角的关系a′cosα′=acosα（2）啮合角渐开线齿轮传动的啮合角α′就等于其节圆压力角。当两轮按标准中心距安装时，则实际中心距a′=a；渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动(3/6)

故齿轮连续传动的条件为

为了两轮能够连续传动，必须保证在前一对轮齿尚未能脱离啮合时，后一对轮齿就要及时进入啮合。则实际啮合线段B1B2应大于或至少等于齿轮的法向齿距pb，即B1B2≥pb。3．一对轮齿的啮合过程及连续传动条件（1）一对轮齿的啮合过程实际啮合线段B1B2理论啮合线段N1N2（2）连续传动条件通常把B1B2与pb的比值εα称为齿轮的重合度，εα=B1B2/pb≥1渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动(4/6)εα≥[εα](2)式中[εα]为许用重合度，常用推荐值：一般制造业[εα]=1.4；汽车、拖拉机[εα]=1.1～1.2；金属切削机床[εα]=1.3；（3）重合度的计算及意义1）重合度εα

的计算εα=[z1(tanαa1－

tanα′)+z2(tanαa2－

tanα′)]/(2π)(3)结论重合度εα

与模数m无关，而随着齿数z的增多而增大，还随啮合角α′减少和齿顶高系数ha*的增大而加大，但εαmax=1.981。而实际工程上，则要求渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动(5/6)

故这对于提高齿轮传动平稳性，提高承载能力都有重要意义。②代表同时参与啮合的轮齿对数的平均值。增大重合度，同时参与啮合的轮齿对数增加，2）重合度的意义①用来衡量齿轮连续传动的条件；渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动(6/6)§10-6渐开线齿廓的加工原理

齿轮的加工方法有铸造、热轧、冲压、模锻、粉末冶金和切削法等，切削法加工从加工原理上可概括为仿形法(formingmethod)和展（范）成法(generatingmethod)。一、展（范）成法(generatingmethod)

齿轮与齿轮啮合或齿轮与齿条啮合时，其齿廓互为共轭的包络线，利用此原理加工齿轮的方法称为展（范）成法，它是一种最常用的齿轮加工方法。

用滚刀切制齿轮时，其转动一方面产生切削运动，而另一方面产生范成运动，（1）标准齿轮的切制原理1）齿轮切制的方法①仿形法②范成法采用盘形铣刀在卧铣床上加工采用指状铣刀在立铣床上加工采用齿轮插刀在插齿机上加工采用齿轮滚刀在滚齿机上加工

近代齿轮加工的方法很多，其中广泛采用的是用齿轮滚刀来加工齿轮。2）滚刀切制齿轮的运动

同时滚刀还需沿轮坯轴线方向作进给运动。(1)插齿

(2)滚齿

展（范）成法加工齿轮时，常用的方法有：插齿和滚齿。1、刀具及其齿形

展（范）成法加工齿轮时，常用的刀具有：齿轮插刀、齿条插刀（又称梳刀）、滚刀等。刀具的齿形齿条型插刀齿轮插刀的形状与外齿轮相似2、切削过程中的运动

齿轮插刀加工齿轮时，刀具的节圆与齿坯节圆相切并作纯滚动，齿条插刀加工齿轮时，刀具的节线与被加工齿轮齿坯的节圆相切并作纯滚动，该运动称为展成运动。1)展成运动(generatingmotion)（1）齿轮插刀插齿：插刀与被加工齿轮应保持恒定传动比的回转运动。

由于这种加工方法利用齿轮的啮合原理，若改变插刀与毛坯的传动比，用一把刀具可以加工出不同齿数的齿轮。

当齿轮插刀的齿数增加到无穷多时，齿轮插刀就变成齿条插刀了。（2）齿条插刀插齿：插刀的移动速度应与被加工齿轮分度圆的线速度相等。

2)切削运动(cuttingmotion)及其它运动

切削运动：刀具沿齿轮毛坯轴向的切削运动——主运动。让刀运动：插齿刀具返回时，为避免擦伤已加工出的齿廓，工件后退的运动。进给运动：为了加工出全齿高，刀具沿齿轮毛坯径向的进给运动。

由于齿条插刀的长度有限，在加工几个齿之后，必须退回到原来的位置，这就造成机床结构复杂且难以保证分齿精度；为解决这个矛盾并克服插齿过程中切削不连续的缺点，生产中多用滚齿加工。3、滚齿加工(hobbing)的特点

滚刀相当于直线齿形的螺杆，滚刀旋转时，相当于直线齿廓的齿条沿其轴线方向连续不断移动，从而可以加工任意齿数的齿轮。

滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便地加工出斜齿轮，它是齿轮加工中普遍应用的方法。

齿条刀中线与齿轮坯分度圆相切纯滚动。这样切出轮必为标准齿轮：

C*m刀顶线刀根线齿顶线C*mham*ham*分度线（中线）S=e*ha=ham*hf=(ha+c*)mp分度圆ham(ha+c*)m**s(ham中线+c)m***(ha+c)m*2m标准齿轮的切制二、仿形法(formingmethod)

1、铣齿(gearmilling)

仿形法是利用与齿轮的齿槽形状相同的刀具直接加工出齿轮齿廓的。

仿形法加工齿轮时，刀具的形状与齿轮的齿槽形状相同。用一般铣床即可以铣去齿槽的金属而形成齿轮的轮齿。当模数、压力角一定时，渐开线齿廓形状随齿数的变化而变化。一般，对同一模数和压力角的齿轮，只有8把或15把铣刀。各号铣刀的齿形是按该组内齿数最少的齿轮的齿形制作的。由于存在分度误差、对中误差和齿形误差，仿形法加工齿轮精度较低。

渐开线的形状取决于基圆直径，一组8把模数铣刀与加工齿数范围刀号12345678加工齿数范围12～1314～1617～2021～2526～3435～5455～134135以上

拉刀拉齿主要用来拉削内齿轮，拉刀的最终形状与齿轮的完整的齿槽空间相同，它是仿形法加工的一种，因拉刀的制造成本高，故它适用于批量生产的情况。

2、拉刀拉齿(gearbroaching)三、根切现象

根切：用展（范）成法加工渐开线齿轮过程中，有时刀具齿顶会把被加工齿轮根部渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。

产生的原因：刀具的齿顶线（圆）超过了极限啮合点。齿廓根切——用展（范）成法切制齿轮时，有时刀具会把轮齿根部已切制好的渐开线齿廓再切去一部分，这种现象称为齿廓根切。产生根切的原因

当刀具齿顶线与啮合线的交点超过啮合极限点N之外，便将根部已切制出的渐开线齿廓再切去一部分。齿轮根切现象rrb0pB1齿顶线B2刀刃ⅡN节线

为了避免产生根切现象，则啮合极限点N1必须位于刀具齿顶线之上，3）切制渐开线齿廓的过程（2）齿轮不产生根切的最小齿数为此应使PN1sinα≥ha*m。由此可得被切齿轮不发生根切的最少齿数为zmin=2ha*/sin2α当ha*=1,α=20。时，zmin=17。用齿轮滚刀切制齿轮的方法(动画）

可减小ha*及加大α

。（3）齿轮的变位修正法为了切制齿数z≤zmin而不发生根切的齿轮，

增大α将使功率损耗增加，且要采用非标准刀具。但ha*减小，将使重合度减小，

故尽量不采用这些方法，而最好的方法是采用变位修正法。根切产生的原因

移距变位法：变位量xm不根切的条件：2.避免根切的方法

当x=0时，即加工标准齿轮而不根切的条件：即：不产生根切最少齿数

对于正常齿，若齿数少于17，必须采用正变位防止根切；不产生根切最少变位系数：当α=20°，ha*=1时，2)改变刀具齿形参数：增大齿形角α或者减小齿顶高系数ha*，可使zmin减小，以避免根切。避免根切的方法：1)选用齿轮齿数z>zmin

3)当z<zmin

时，只能用正变位。

§10-7

渐开线齿轮的变位修正为何对齿轮进行变位修正？渐开线标准齿轮传动存在的不足之处：1）一对相互啮合的标准齿轮中，小齿轮的强度较低，容易损坏，从而影响了整个齿轮传动的承载能力。2）标准齿轮不适用于中心距a′≠a=m(z1+z2)/2的场合。

因当a′＜a时，无法安装；而当a′＜a时，尚可安装，但齿侧间隙过大，重合度会降低，影响传动的平稳性。3）在切制齿数较少的标准齿轮时，其齿廓会发生根切现象。

根切使轮齿的抗弯强度降低，重合度减小。

因此，为改善和解决标准齿轮存在的上述问题，就必须突破标准齿轮的限制对齿轮进行必要的修正。

而“变位修正法”为目前最为广泛采用的一种齿轮修正方法。

这样加工出来的m、α、ha*、及c*仍为标准值，而s≠e的齿轮就称为变位齿轮。

就是用改变刀具与轮坯的相对位置，使刀具的齿顶线不超过N1点，来避免根切现象的加工方法。所谓变位修正法，

其中x称为径向变位系数或变位系。

其刀具的移距xm称为径向变位量。当x＞0时，称为正变位，所加工的齿轮称为正变位齿轮；当x＜0时，称为负变位，所加工的齿轮称为负变位齿轮。渐开线齿轮的变位修正(2/4)1．变位齿轮的概念

此时需将两轮齿顶各减短△ym，以满足标准顶隙的要求。其中△y为齿顶高降低系数，而△y＝(x1+x2)－y。2．变位齿轮的几何尺寸齿厚

s＝(π/2＋2xtanα)m齿槽宽e

＝(π/2－2xtanα)m齿顶高ha＝(ha*＋x)m齿根高hf＝(ha*＋c*－x)m3．变位齿轮的传动（1）变位齿轮传动1）变位齿轮传动的正确啮合和连续传动条件与标准齿轮相同。2）变位齿轮传动的中心距取无侧隙中心距a′＝a＋ym。渐开线齿轮的变位修正(3/4)

一对变位齿轮啮合，两节圆作纯滚动。p1’=p2’

为保证无侧隙啮合，一齿轮的节圆齿厚应等于其相啮合的齿轮的节圆槽宽，s’1=e’2,s’2=e’1

——变位齿轮无侧隙啮合条件即：

变位齿轮的分度圆齿厚是变化的，如何保证无侧隙啮合传动？将得：代入：

两变位齿轮必须按由此式求得的啮合角安装时，才能保证无侧隙啮合。无侧隙啮合方程：中心距a及中心距变动系数y变位齿轮传动的实际中心距（无侧隙啮合的中心距）——中心距与啮合角关系y称为中心距变动系数变位齿轮传动的中心距a'及中心距变动系数yy—中心距变动系数：时y>0时y<0当式中o1a'r2r1o2ym两分度圆分离；两分度圆相割。变位齿轮传动的几何尺寸计算变位齿轮的分度圆、基圆与标准齿轮相同。齿厚改变齿高如何改变？正变位齿轮的齿根高：变位齿轮的中心距变位齿轮的齿顶高

为使齿轮传动具有标准顶隙，一齿轮的齿顶高与另一齿轮的变位系数有关。因而，不宜单独确定一个变位齿轮的毛坯外圆直径。为保证传动的标准顶隙，变位齿轮的全齿高△y为齿顶高变动系数，在外啮合传动中恒为正值。令得变位齿轮的全齿高恒小于或等于标准齿轮的全齿高。（2）变位齿轮传动的类型1）标准齿轮传动x1＝x2＝02）等变位齿轮传动

x1＝－x2≠03）不等变位齿轮传动x1+x2≠0当x1+x2>0时，为正传动；当x1+x2<0时，为负传动。渐开线齿轮的变位修正(4/4)渐开线斜齿圆柱齿轮齿面的形成

NN'发生面0基圆柱

当发生面沿基圆柱作纯滚动时，而若与基圆柱母线成一夹角b的直线在空间的轨迹则为斜齿圆柱齿轮的渐开螺旋面。bk'0k0kk'O接触线斜齿轮齿面的形成

一对斜齿轮啮合时，齿面上的接触线由短变长，再由长变短，减少了传动时的冲击和噪音，提高了传动平稳性，故斜齿轮适用于重载高速传动。§10-8

斜齿圆柱齿轮传动§10-8

斜齿圆柱齿轮传动1．斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算（1）斜齿轮的基本参数1）螺旋角β，即斜齿轮分度圆柱的螺旋角，有左右旋之分，也有正负之别。2）法面模数mn与端面模数mtpn=ptcosβ即π

mn=π

mtcosβ故mn=mtcosβ3）法面压力角αn与端面压力角αttanαn=tanαtcosβct

*=cn

*cosβ类似有xt=xncosβ

（2）斜齿轮的几何尺寸计算

斜齿轮的几何尺寸是按其端面参数来进行计算的。

表10-5斜齿圆柱齿轮的参数及几何尺寸的计算公式斜齿圆柱齿轮传动(2/5)4）han*、cn*

与

hat*、ct*

hat*=han*cosβ

结论在设计斜齿轮传动时，可用改变螺旋角的办法来调整其中心距的大小。

它们的螺旋角还必须相匹配，以保证两轮在啮合处的齿廓螺旋角相切。即

的正确啮合的条件，除两个轮的模数及压力角应分别相等外，2．斜齿轮的啮合传动（1）正确啮合的条件一对斜齿轮1）β1=±β22）mn1=mn2，αn1=αn2或mt1=mt2，αt1=αt2（2）中心距斜齿轮传动的标准中心距为a=(d1+d2)/2=mt(z1+z2)/2=mn(z1+z2)/(2cosβ)

通常使其圆整，以便加工。斜齿圆柱齿轮传动(3/5)

其中εα是用其端面参数并按直齿轮重合度的计算公式来计算的。（3）重合度

斜齿轮传动的总重合度εγ为其端面重合度εα与轴面重合度εβ的两部分之和，即εγ=εα+εβ而εβ=Bsinβ/(πmn)。斜齿圆柱齿轮传动(4/5)即以斜齿轮的法面参数mn、αn

、han*及cn*为参数，以zv(=z/cos3β)为齿数所构造的一假想直齿轮。3．斜齿轮的当量齿轮和当量齿数（1）斜齿轮的当量齿轮，是指与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮。

该直齿轮的齿形就是相当此斜齿轮的法面齿形。（2）斜齿轮的当量齿数：zv=z/cos3β。4．斜齿轮传动的主要优缺点优点：啮合性能好；重合度大；结构紧凑。缺点：有轴向力，一般取β=8。～20。，人字齿β=25。～40。5．交错轴斜齿轮传动斜齿圆柱齿轮传动(5/5)球面渐开线的形成--与基圆锥相切于NO'，且半径R等于基圆锥的锥距的扇形平面沿基圆锥作相切纯滚动时，该平面上一点K在空间形成一条球面渐开线，半径逐渐减小的一系列球面渐开线的集合，就组成了球面渐开面。

kRN'N(b)o'o'k0O(a)k'k'0§10-9

圆锥齿轮传动

一般Σ=90。。§10-9

圆锥齿轮传动1．圆锥齿轮传动及其类型（1）圆锥齿轮传动圆锥齿轮传动是用来传递两相交轴之间的运动和动力的，

即大端的模数为标准值，

通常取圆锥齿轮大端的参数为标准值，其压力角为20。。（2）圆锥齿轮传动的类型直齿圆锥齿轮传动斜齿圆锥齿轮传动曲齿圆锥齿轮传动圆锥齿轮传动2．直齿圆锥齿轮的当量齿轮和当量齿数

（1）圆锥齿轮和冠轮的啮合传动在其背锥展开后，相当于渐开线齿轮与齿条的啮合传动。

（2）圆锥齿轮的当量齿轮是由圆锥齿轮的大端面模数和压力角及zv所确定的直齿轮。引入当量齿轮的概念,使圆锥齿轮传动的研究大为简化。3．圆锥齿轮的主要参数和几何尺寸计算圆锥齿轮传动(2/2)

（表10-9）（3）圆锥齿轮的当量齿数

zv=z/cosβ

与球面相切于大端节圆处的圆锥，称为大端的背锥，背锥展开成扇形齿轮，假想将扇形齿轮补全为完整的圆形齿轮，此即为