第1-3章 基本原理

水文地质数值计算郭巧娜地球科学与工程学院第一章地下水流动定解问题概述1、三维流微分方程2、数学模型3、微分方程4、边界条件5、模型概化6、实例

取右图所示的微小六面体。设与x,y,z,方向对应的主渗透系数分别为Kxx,Kyy,Kzz；建立均衡期t时段内，微小均衡六面体的水量守恒方程。1、三维流微分方程1、三维流微分方程x，y，z方向流入—流出分别为:t时段内，六面体水量变化量为：六面体内地下水储存量的变化为由水均衡原理得1、三维流微分方程方程两端除以Δt，并取Δｘ→０,Δｙ→０,Δｚ→０和Δｔ→０，则一般密度的空间变化率很小，故于是有由达西定律有（2）水流连续性方程左端项都很小，可以忽略。1、三维流微分方程上式为非均质各向异性承压含水层的偏微分方程。均质各向异性非稳定流均质各向异性稳定流得到地下水三维流动微分方程[1/L]1、三维流微分方程微分方程定解条件边界条件初始条件已知t=0时的因变量，H(x,y,z,0)=H0(x,y,z)已知水头边界(I类边界)H(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)(x,y,z)B1特例：定水头边界H(x,y,z,t)=C已知流量边界特例：隔水边界2、数学模型数学模型地下水运动的数学模型结构(1)第一类边界条件(简记为DirichletBC)第一类边界条件也称为给定水头边界条件，指的是渗流区某一部分边界上，各点水头在某一时刻是已知的，表示为：

(2)第二类边界条件(简记为NeumannBC)第二类边界条件也称为定流量边界条件，是指某一部分边界单位面积上流入(流出时值为负)的流量已知。相应的边界条件表示为：注水井或抽水井也可以作为内边界来处理，此时的承压含水层可忽略其水头的垂向变化，注水井或抽水井开口于整个厚度，如图所示，设井的半径为

，单位时间抽水量为

，井壁法向

和

轴方向相反，如图中所示。承压抽水井示意图则由Darcy定律，有：

（3）

第三类边界条件(RolinBC)第三类边界条件也称为混合边界条件，是指知道某段边界上和的线性组合：临海含水层与海水之间有一层薄淤泥层，则淤泥层两侧同一位置上的点存在水头差，内侧含水层水头

、渗透系数分别为

，淤泥层厚度为

，水头、渗透系数分别为

和

，外侧海水水头为

，忽略淤泥层内孔隙水的弹性贮存的变化，在淤泥层与含水层交界面上根据流量的相等关系，有：淤泥层与含水层交界面上根据流量的相等关系，其中

（4）等值面边界条件

等值面边界条件适用于不完全井的情况，即井壁和底部都有含水层中的水流渗入。等值面边界条件的表达形式是：已知，并有正、负之分，分别对应于单位时间内的注入水量和抽出水量。是井壁或渠壁与含水层的所有接触面。（5）

自由面边界条件自由面边界条件即潜水面边界条件，若潜水含水层中水头为

，自由面方程：

，那么，在自由面上，有：（5）

自由面边界条件3、微分方程

数学模型4、边界条件

边界条件：渗流区边界上水力特征，即边界上的水头分布和变化特征或流入流出含水层的水量分布和变化情况。主要有两类：1．已知边界上的水头分布规律

HB1=ψ(x,y,t),其中ψ(x,y,t)为已知函数。主要常见的是渗流区与地表水体相接触。2．已知边界上的单位宽度流量q随时间的变化规律如已知流量为Q的承压含水层中完整的抽水井，其井壁可以看作此类边界。

数学模型5例子:河间地块承压水流模型

设两条河流平行、完全切割乘压含水层，含水层等厚、均质各向同性,无垂向补给或排泄，对于如图所示的坐标系，已知某时刻的含水层各处的水头为20米，自该时刻后，河水位分别为如图所示的函数。试根据条件作合理简化建立其数学模型。（1）模型概化

由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。（2）建立坐标系（如图）

取x-轴原点位于左端河，右侧为正向，设两河流间距为L.

纵轴为水头。（3）数学模型河间地块承压水流模型（续）

1有限差分法原理2导数的有限差分近似表示3承压一维流动有限差分法4承压二维不稳定流有限差分法5源汇项的处理及井孔水头校正6不规则边界问题7矩形变格距网格差分第二章有限差分法1有限差分法的基本原理将连续的问题离散后求解：方法一．以地下水流基本微分方程及其定解条件为基础，在渗流区剖分基础上，用差商代替微商，将地下水流微分方程的求解转化为差分方程（代数方程）求解。方法二．在渗流区剖分的基础上，直接由达西定律和水均衡原理，建立各个均衡区的水均衡方程，即差分方程。矩形网格多边形网格1有限差分法的基本原理

——网格划分的基本类型（1）先划格线，格点位于网格中心均衡网格节点网格（2）先规定格点位置，再垂直平分两相邻结点的连线作格线，形成的网格即为水均衡区基本概念将时间离散点和空间离散点联合组成的网格称为时空网格。有限差分的基本原理：某点处水头函数的导数用该点和几个相邻点处水头值及其间距近似表示。MODFLOW网格系统导数的有限差商近似导数的定义

当非常小的时候，有

上式右端项即为f(x)在x0处的差商。

这样定义的差商很容易理解，但不知道用差商代替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商及其误差。方法一：差商代替微商2导数的有限差分近似表示已知泰勒公式①由A得：

AB②由B得：

称为f(x)在x0处的一阶前向差商，为截断误差。称为f(x)在x0处的一阶后向差商，为截断误差。方法一

③由A-B可以得：

④由A+B可以得：AB称为f(x)在x0处的一阶中心差商，为截断误差。称为f(x)在x0处的二阶中心差商，为截断误差。方法一对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：方法一

取右图所示得微小六面体。设与x,y,z,方向对应得主渗透系数分别为Kx,Ky,Kz；建立均衡期t时段内，微小均衡六面体的水量守恒方程。方法二：达西定律和水均衡原理基于达西定律，x，y，z方向流入—流出分别为:t时段内，侧向流入与源汇项导致六面体水量变化量为：ABC方法二：达西定律和水均衡原理DA+B+C+D源汇项六面体内地下水储存量的变化为由水均衡原理得三维地下水流动方程的有限差分格式方法二：达西定律和水均衡原理有限差分法:三维（MODFLOW）差商代替微商3承压一维流动有限差分法显式差分格式隐式差分格式方法一控制方程网格剖分nx个算例：显式有限差格式

设两条河流平行、完全切割含水层，含水层等厚、均质各向同性。应用实例：河间地块承压水流模型3承压一维流动有限差分法步骤：（1）基础资料的分析（2）概念模型（3）数学模型（4）数值方法及计算机程序（5）参数（6）结果分析3承压一维流动有限差分法建立数学模型（1）模型概化由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。（2）建立坐标系（如图），将地下水流动系统空间结构放在坐标系内，从而量化各变量的取值范围。本例，取x-轴原点位于左端河，右侧为正向，设两河流间距为L.（3）数学模型3承压一维流动有限差分法差分方程及其解法—显式格式①将（0—L）分成N等份，1)网格剖分：②取时间步长，记（n=0、1、2、3、4……）记，(i=0,1,2,3，4……N)2）建立差分方程：在网格系统中任意取一点设是问题的解，则在处有记为（i，n）3承压一维流动有限差分法用差商代替微商：

将上述两式舍去余项，代入方程并记为显然该式具有截断误差得到显式格式（续1）引入无量纲变量：将该式子代入得到：

（i=1，2，3，.....N-1），（n=1，2，3，.....）

显式格式（续2）3）显示差分方程的求解计算各结点初始时刻水头值利用差分方程计算各结点t1时刻水头值利用边界条件计算边界结点水头值重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻的水头值显式格式（续3）算例（续4）在上述模型中，设L=1000米取空间步长为200米，时间步长为0.25天，分别计算各节点各时刻的水头值。Time/dayx=0mx=200mx=400mx=600mx=800mx=1000m02010101010100.252012.5101010100.502013.7510.6251010100.752014.53111.25010.15610101.002015.07811.79710.39110.039101.252015.48812.26610.65410.11710算例（续5）Time/dayx=0mx=200mx=400mx=600mx=800mx=1000m02010101010100.252020101010100.502010201010100.75203002010101.0020-10101.252010算例（续6）如果⊿t=1,则算例：隐式格式在上述模型中，设L=1000米取空间步长为200米，时间步长为0.25天，用隐式差分格式计算各节点个时刻的水头值。在这个例子中，解：隐式格式一般方程为于是有根据初始条件得根据边界条件得由初始条件和边界条件由此解得t1时刻的水头值为在上述方程中取n=0,可以得到计算t1时刻水头值的方程所以上述方程变成同理，可计算t2时刻的水头值差分方程求解一维显式差分格式网格个数为ni直接求解差分方程求解一维隐式差分格式网格个数为ni迭代求解方程组PCGSIPSORWHSSAMGGMGMODFLOW差分方程的收敛性和稳定性截断误差：用差商代替微商时，地下水流动方程产生的误差为截断误差。收敛性：当空间步长和时间步长趋于0时，有限差分方程的精确解趋于地下水流动问题微分方程定解问题的精确解。则称该差分格式是收敛的。稳定性：如果在求解差分方程过程中，某时间步引入某个误差，而在以后的各时段计算中，该误差不再扩大，则称该差分格式是稳定的。一维显示格式的收敛条件和稳定条件是：第二类边界条件的处理前面介绍的几种差分格式，都是以第一类边界条件为例，说明其具体计算方法的。如果是第二类边界条件，怎么使用这些格式进行计算呢？为此，我们以下面的定解问题来讨论这个问题。设问题数学模型为用一阶中心差分公式代替边界条件中的偏导数4承压二维不稳定流有限差分法我们考虑无垂向补给、排泄、均质、各向同性、等厚的承压流动问题，边界条件第一类，渗流区为矩形，则可用下述定解问题描述4承压二维不稳定流有限差分法（1）显式格式--网格剖分（1）显式格式2）建立差分方程：（1）显式格式（1）显式格式3）二维显示差分方程的求解计算各结点初始时刻水头值计算t1时刻水头值计算边界结点水头值重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻水头值（1）显式格式差分方程收敛性（2）隐式格式（2）隐式格式4）差分方程的收敛性和稳定性条件5源汇项的处理及井孔水头校正越流、入渗和抽水井等问题的处理如果考虑垂直渗流项（即源汇项），则二维承压流动微分方程可写成建立差分方程时，在结点处应加上这一项，它可具体表示为：井水位校正对比图

图3-5（a）初始网格有限差分法计算井水位的校正图3-5（b）加密网格6不规则边界问题当研究区的几何形状属于简单形式（如矩形渗流区）时，差分网格的划分往往将结点设在边界上。然而，对于实际问题来说，边界通常不是那么规则，边界的某些部分，甚至大部分不能与结点重合，我们称这种边界是不规则的。关于不规则边界问题，直接取最靠近边界的曲折格线为近似边界河流、水库、湖泊等问题7矩形变格距网格差分本节直接由达西定律和水均衡原理建立差分方程达西定律：水均衡原理：对某一研究对象，流入-流出=体系内质量变化量研究对象可以是大区域，也可以是微分单元体。大区域的水均