空间问题及单元选择

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（回顾）平面问题的有限元法整体刚度矩阵求解位移函数应变应力等效节点载荷单元刚度矩阵2第三章空间问题的有限元法3第一节三维应力状态位移几何方程平面问题的推广4用矩阵形式表示yxz5各向同性弹性体的物理关系用矩阵表示为弹性矩阵6第二节空间问题的离散化离散化模型：由若干块状的单元在节点处连接，节点为铰链，基本未知量为节点位移。ABAQUS空间问题离散化采用的单元：应用最广泛的是应力/位移实体单元，三维的包括四面体单元、六面体单元和楔形单元。7第三节四面体单元单元的节点位移向量为、单元位移函数选取如下位移函数8将4个节点的坐标代入写成矩阵表达形式9其中（i=1，3）插值函数，是坐标的函数，反映单元的位移形态，在有限元法中称为形函数。（i=2，4）10

节点的排列应满足右手螺旋法则，即从最后一个节点看去，前三个节点应逆时针排列。（i＝1，2，3，4）为求逆过程中的代数如余子式11单元的形函数矩阵二、应变矩阵和应力矩阵单元位移函数为1213应变矩阵常应变单元14应力矩阵单元中的应力也为常数。三、单元刚度矩阵变形体的虚功原理：要使变形体在某一形变位置处于平衡，其充要条件是，在这一变形位置，所有内力和外力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。--变形体虚功方程15设单元产生虚位移，单元节点虚位移为单元内部的虚应变为外力虚功内力虚功的负值任意性

16其中的元素为常量单元刚度矩阵四、单元等效节点载荷向量利用虚功原理获得等效节点向量。17五、求解求解如下方程组六、应力计算及结果处理求解方程组单元内各点的应变和应力单元的节点位移向量节点位移向量18应变矩阵是形函数对坐标求导得到的矩阵，而求导使多项式的阶数降低，所以计算得到的应力和应变精度比位移低，存在误差。应力解的误差表现在：单元内部不满足平衡方程；单元与单元的交界处应力不连续；在边界上应力解与边界条件不符。计算得到的应力进行处理：绕节点平均法，两单元平均法，外推法有限元误差包括：计算误差和离散误差。误差分析减少误差采取的措施：减少刚度过份悬殊的单元，采用较密的网格划分19第四节六面体单元单元的节点位移向量为20、六面体单元位移函数选取如下位移函数可由节点坐标和位移确定出待定系数单元的位移模式是完备和协调的21二、其他物理量应变矩阵应力矩阵单元刚度矩阵对空间问题的有限元分析，一般多采用复杂一些、精度高一些的等参元。22算例：

如图所示支架，一端牢固地焊接在一个大型结构上，支架的圆孔穿过一个相对较软的杆件，圆孔和杆件用螺纹连接。材料的弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。23支架有两种工况：1、杆件的一端受到y轴负向的集中力2kN，其大小随时间变化。2、支架的自由端在局部区域受到均布切力36MPa。试分析在两种工况下支架挠度随时间的变化情况；内圆角处的最大主应力。根据计算结果进行改进设计，减少应力集中。242526第五节ABAQUS单元的选择ABAQUS单元库中提供广泛的单元类型，适应不同的结构和几何特征单元特性：Family单元族Numberofnodes节点数Degreesoffreedom自由度数Formulation数学描述Integration积分27单元类型ABAQUS单元种类多达433种，共分为8大类：连续体单元（实体单元）、壳单元、薄膜单元、梁单元、桁架单元、刚体单元、连接单元和无限元。单元族之间的主要区别是每一个单元族所假定的几何类型不同28节点数—插值的阶数：ABAQUS只在节点上计算位移或其他任何自由度，在单元内的其它点，位移由节点位移插值获得。通常插值的阶数由单元的节点数决定。自由度：是分析计算的基本变量。如对于平面问题自由度是指各节点处的平动。线性（linear）单元：又称一阶单元，仅在单元的角点处布置节点，在每一个方向上采用线性插值。二次（quadratic）单元：又称二阶单元，在每条边上有中间节点，在每一个方向上采用二次插值。修正的（modified）二次单元：只针对三角形（tri）和四面体单元（tet）才有这种类型，即在每一条边上有中间节点，并采用修正的二次插值。29数学描述：是指用来定义单元行为的数学理论。ABAQUS中所有的应力/位移分析单元都是基于拉格朗日或材料行为的描述—在整个分析中和单元相关的材料保持和这个单元相关，而且材料不能在单元之间移动。在欧拉空间描述中，单元在空间固定，而材料在单元之间流动。欧拉方法通常用在流体力学的模拟中。平面应变、平面应力、杂交单元、非协调元、小应变壳元、有限应变壳元、厚壳、薄壳30积分：ABAQUS应用数值方法在每一个单元的体积上对不同变量进行积分。单元的刚度和质量在单元内的采样点进行数值计算，这些采样点叫做“积分点”；数值积分的算法影响单元的行为；ABAQUS包括完全积分和减缩积分。一阶完全积分

减缩积分二阶完全积分：线性单元如要完全积分，则在每一个方向上需要2个积分点。而二次单元若要完全积分在每个方向上需要3个积分点。减缩积分：比完全积分单元在每个方向上少用一个积分点。只用于六面体单元。在单元截面属性中采用沙漏控制增加单元的刚度*SOLIDSECTION,NAME=name*HOURGLASSSTIFFNESS

检查积分点的压应力，查看是否发生体积自锁检查没有剪切变形的单元中发生了剪切变形，查看是否发生了剪力自锁32

对于线性完全积分的实体单元，弯曲变形时存在剪力自锁现象。受纯弯曲材料的变形线性完全积分单元的变形每一点的剪应力不为零伪剪应力33二次完全积分单元的变形可以避免这个问题二次完全积分单元的优点：对应力的计算结果很精确，适于模拟应力集中问题；一般情况下，没有剪切自锁问题。应用二次完全积分单元应注意：不能应用于接触问题；对于弹塑性材料，若材料是不可压缩的，容易产生体积自锁。34减缩积分：比完全积分单元在每个方向上少用一个积分点。只用于四边形和六面体单元。

线性减缩积分单元存在所谓的沙漏（hourglassing）的数值问题。受弯曲时线性减缩积分单元的变形35

单元在积分点上的所有应力分量为零，单元扭曲没有产生应变能，单元在此状态下没有刚度，在粗网格中这种状态可能扩展，从而产生无意义的结果。ABAQUS对减缩积分单元引入少量的人工沙漏刚度以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种刚度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的细网格线性减缩积分单元能够得到满意的结果。线性减缩积分单元具有以下优点：位移求解结果比较精确。网格存在扭曲时，分析精度不会受到很大影响。在弯曲载荷下不容易产生剪切自锁。ABAQUS单元命名约定B21:梁,2-D,一次插值

CAX8R:连续，周对称，8节点，减缩积分DC3D4:扩散

（热传导），连续,3-D,4-nodeS8RT:壳,8节点,减缩积分，温度CPE8PH:连续，平面应变，8节点，气孔压力，杂交DC1D2E:扩散（热传导），连续，1-D,2-node,电37ABAQUS网格划分网格质量123411223344位移协调性梁单元平面单元模拟弯曲状态垂直于中线的平面弯曲后仍然垂直与中线；轴向应变沿厚度方向线性变化；如果泊松比为零，厚度方向的应变为零；剪应变为零初始垂直于等参线的直线弯曲后没有改变长度

（yy=0）由于单元的边可以变成曲线，变形后的等参线仍然为90o（yy=0）。等参线二次单元模拟(CPE8,C3D20R,…)和减缩积分单元可以精确的模拟弯曲状态；模拟弯曲状态由于单元边界必须保持直线，所以变形后的等参线不再垂直（）积分点一次全积分单元模拟（CPS4,CPE4,C3D8）

在积分点有剪应变单元边界长度改变了但没有应变一次减缩积分单元模拟（CPE4R,…）出现沙漏（hourglassing）现象

厚度方向上有至少4层单元没有沙漏如果厚度方向上多于4层一次全积分，则不会出现沙漏相同的载荷条件，变形放大1000×检查是否出现沙漏的方法一：看变形图模拟弯曲状态内能伪能伪能内能厚度方向两个单元：伪能/内能为2%厚度方向四个单元：伪能/内能为0.1%检查是否出现沙漏的方法二：看能量比ABAQUS对减缩积分单元引入少量的人工沙漏刚度以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种刚度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的细网格线性减缩积分单元能够得到满意的结果。42线性减缩积分单元具有以下优点：位移求解结果比较精确。网格存在扭曲时，分析精度不会受到很大影响。在弯曲载荷下不容易产生剪切自锁。应用线性减缩积分单元应注意：需要划分较细的网格克服沙漏问题。如果希望以应力集中部位的节点应力作为分析目标，则不要选用该积分单元，因为该单元只在单元中心有一个积分点，相当于常应力单元，它在积分点上的应力相对精确，而经过外推插值或平均后的节点应力则不精确。43二次减缩积分单元具有以下优点：即使不划分较细的网格也不会出现严重的沙漏问题。即使在复杂应力状态下对自锁也不敏感。应用二次减缩积分单元应注意：不能在接触问题中使用。不适用于大应变问题。得到节点应力精度不高。44非协调单元：可以将单元类型设置为非协调模式单元(如C3D8I、CPS4I)。非协调单元把能够增强单元位移梯度的附加自由度引入一阶单元，从而可以克服完全积分一阶单元的剪力自锁。非协调模式单元一阶单元45非协调单元：可以利用连续实体非协调单元很好的模拟弯曲占主导的问题；与一次和二次减缩积分单元相比：可以很好的模拟剪切变形，如没有剪切变形的纯弯曲问题；可以在厚度方向利用一个单元模拟得到精确的结构；没有沙漏问题，可以很好的模拟塑性和接触问题。如果单元过渡扭曲，不如一次减缩积分单元有优势；但如果过分扭曲所有的单元都不如意。46非协调单元：例：具有扭曲单元的悬臂梁平行扭曲梯形扭曲47单元类型xxyyxy备注物理状态000二次000OK一次全积分000剪切自锁一次减缩积分000如果厚度方向的单元较少000OK如果厚度方向有足够的单元非协调单元000OK如果不过分扭曲不同单元模拟弯曲状态48应力集中问题二次单元处理应力集中问题，明显优于一次单元无论是完全积分还是减缩积分都可以很好的反映应力集中减缩积分效率更高，而且计算结果往往优于完全积分。二次单元可以以更少的单元更好的反应结构的几何特征

49应力集中问题理想okbaddistortedundistorted当单元初始具有扭曲时，利用一次、二次和六面体单元的计算精度都较低但一次单元比二次单元对扭曲的敏感性低二次三角形和四面体单元与单元初始的形状不敏感50接触问题二次四边形和六面体单元不适合做接触问题；规则的二次三角形和四面体单元经过修正后适合做接触问题（修正后的单元加M）由于压力的不均匀协调改变节点力的方向。51杂交单元：对于ABAQUS的每一种实体单元，都可以得到一个杂交单元。用来处理不可压缩（或非常接近不可压缩材料）。如果材料不可压缩，单元的体积不会改变，则压应力不能由节点位移计算，而是由一个附加自由度来决定。（ABAQUS/Standard）弹塑性材料发生体积自锁正常的弹塑性材料橡胶材料或大塑性应变的金属材料52杂交单元对于近似不可压缩材料，如果没有物理机制的变形采用全积分单元发生体积自锁，可以把全积分单元改用减缩积分单元，同时增加网格密度。如果问题依然存在再使用杂交单元。杂交单元不建议使用在各向异性材料中，除非材料是近似不可压缩状态。精密的网格，使用减缩积分仍然有体积自锁的网格，比如弹塑性材料完全进入塑性阶段。即使使用了杂交单元一次三角形或者四面体单元仍然有过度约束。因此建议这类单元使用的比例要小，可以作为六面体单元的“填充物”使用。实体单元的选择问题最佳的单元不建议使用的单元两个变形体的一般接触分析一阶单元二阶单元伴有弯曲的摩擦非协调单元一阶或二阶完全积分单元弯曲（没有摩擦）二阶单元