第四章-不定积分

复习：

导数的定义定义1

设函数在点

存在,

并称此极限为记作：则称函数若

的某邻域内有定义

,在点处可导,在点的导数.书P.35加上四则运算公式，复合函数求导法则。以及计算技巧。

初等函数的求导

例：求函数f（x）=x2sinx+2cosx

的导数。解复习：微分的定义定义(微分的实质)二、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式P402.函数和、差、积、商的微分法则例解例解例解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.第四章不定积分

§4.1不定积分的概念与性质

§4.2不定积分的积分方法：（换元积分法、分部积分法）

§4.3几种特殊类型函数积分举例1011

回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,

如何求它的导数.”

积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分.

本章研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.

那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.12问题:

若已知某一函数F(x)

的导数为ƒ(x),求这个函数.则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.一.原函数的定义定义1

设ƒ(x)定义在区间I上,若存在函数F(x),使得对

§4.1不定积分的概念和性质有例因为，所以因为所以13定义：

若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在。简言之：连续函数一定有原函数.(证明略)原函数存在性定理:定义：

设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证

因为问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.14定理1

设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则

G(x)=F(x)+C(常数)证由拉格朗日定理知由此可见:

若F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的所有原函数。二.不定积分的定义定义2

函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分.记为显然，若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数,则

15任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量例如16例1

求解解例2

求17例3

求下列不定积分18三.不定积分的几何意义而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是:

(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){|c|19

oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.20例4

已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点求此曲线方程.解

设所求曲线为y=ƒ(x),则故所求曲线为y=ln|x|+221四、不定积分与微分的关系22五、基本积分表2324导数公式表积分公式表以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！25例5

求下列不定积分4.1.3不定积分性质

2627直接积分法:

利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分.例6

求下列不定积分2829例8

一种流感病毒每天以的速率增加,其中t是首次爆发后的天数,如果第一天有50个病人,试问在第10天有多少个人被感染？解设在第t天有Q(t)个人被感染,则

30由题意知当t=1时,Q(t)=50.代入上式可解出C=–69,则即在第10天有10931个人被感染.31练习题无穷多

常数

全体原函数

积分曲线

积分曲线族

平行

连续

3233

能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分法(第一换元法)例

计算分析:此不定积分在积分表中查不到.§5.2换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效的积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.

(u是x的函数)34注:

这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为35定理4

证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.注1.定理4中,若u为自变量时,当然有当u换为(x)时,就有成立.——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.

凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即成立.36(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把

dx凑成d(x).如

(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:37例1

求下列各不定积分结论1:383940以下常见的凑微分公式！4142例2

求不定积分结论2:同理可得43例3

求下列各式的不定积分44结论3:45或原式同理可得46例4

求下列各式的不定积分同理可得结论4:一般地,对形如这样的不定积分当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；47一般地,对形如这样的不定积分若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为48对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.49(5)

求解还有其他方法吗？50练习两次凑微分51例5

求解法1解法2解法3注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如52解例6

设求.令53二.第二换元法（作代换法）注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换从而注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分求出此积分后回代t的方法称为第二换元积分法.化为积分(较易积出)54定理5

设函数ƒ(x)连续,

x=(t)单调可微,

且,而证明在此方法中要注意两个问题:1.函数的原函数存在.2.要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.则55注1:第二换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法(先凑后换元)不一样.注2:第二换元积分法主要用来求解被积函数为无理函数的不定积分.换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.分两类讲:1.根号里是一次式的,即2.根号里是二次式的,即等。1.被积函数含有的因子时,可令例1

求下列积分化简函数后再积分.5657解58但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况作不同的三角代换,作法如下：2.被积函数含有的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.例2

求下列各积分59›tax如图6061›tax如图解

x=atant,t∈(-,)，

则dx=adt,

=asect,因此有62›tax则dx=asecttantdt,=atant,故思考：求63例3

求解令64例4

求令解3.倒代换

——当被积函数的分母的次数较高时，可采用倒代换

65例5

求66解由题意知则例6(1)设函数ƒ(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分67(2)若己知

,求：

通过上述几种积分方法的学习,将以下几个公式补充在积分表里：6869定理5

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则§5.3分部积分法IntegrationbyParts直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问题;但对形如等类型的不定积分,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得分部积分法.证由d(uv)=vdu+udv,得udv=d(uv)–vdu,对此式两边同时求不定积分,得采用这两种方法却无效.70而不定积分易于计算,则可采用分部积分公式,使计算大为简化.注1:不定积分不易计算,例1

求解

(1)设

由分部积分公式得71(2).要比容易积出.注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要考虑以下两点:(1).v要容易求得;后一积分更难求72例2

求一般按“反对幂指三”的顺序,后者先凑入的方法确定u和v.73比原积分更难积出.例3求下列不定积分否则若

7475练习：76参考答案：77例4求这是一个关于的方程,移项并两边同除以2,得注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.还有不同的解法吗？78例5

求解令先换元再分部积分先凑微分再分部积分79(3)设f(x)有连续的二阶导函数，求80是f(x)的一个原函数,求解

因为(4)已知是f(x)的一个原函数所以81例6求不定积分解综合练习题82例7求不定积分解83例7求不定积分解原式84例8求不定积分解令则还有解法吗？先分部积分再换元85例9解法1求先分部积分,设则于是再设则于是后换元.86代入上式,得例9解法1求87解法2先换元,例9求后分部积分.设则再设则88例10解求已知的一个原函数是根据题意再注意到两边同时对求导,得89例11解求不定积分令则于是原式其中90例12解求不定积分先折成两个不定积分,再利用分部积分法.原式91例13解求不定积分92例14解求其中为正整数.用分部积分法,当时有即于是93例14解求其中为正整数.用分部积分法,当时有于是以此作递推公式,即可得并由94例15解利用分部积分计算选于是95例15解利用分部积分计算选于是方便.注:本题选比选更能使解题96一、有理函数的积分有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数.其中、都是非负整数;及都是实数,并且假定分子与分母之间没有公因式:(1)这有理函数是真分式;(2)这有理函数是假分式.97一、有理函数的积分利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例981.由代数学知,任何多项式在实数范围内总能分解成一次因式和二次质因式的乘积,即其中为常数;k…,s‚α,…,β为正整数,且2.任何一个真分式均可唯一地分解为若干个最简分式之和.注意99一、有理函数的积分(1)分母中若有因式则分解后为(其中都是常数)若分解后有(2)分母中若有因式其中则分解后为真分式化为最简分式之和的一般规律:100一、有理函数的积分则分解后为(都是常数)若分解后有注:求有理函数积分的关键是分式化为最简分式之和.利用待定系数法将真101例1分解有理分式解设整理得即102例2分解有理分式解设代入特殊值来确定系数取并将值代入()取取(*)103例3分解有理分式解两边同乘以得:令得再将上式两边求导:104例3分解有理分式解令得同理,两边同乘以令得所以105一、有理函数的原函数将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况:(1)多项式;(2)(3)讨论情况(3):而其中106有理函数的原函数而其中时,107一、有理函数的原函数上述三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.绪论有理函数的原函数都是初等函数.时,108例4求不定积分解根据例1的结果原式109例5求不定积分解根据例2的结果原式110例6求不定积分解根据例5的结果,有111解根据上述方法,有112