第四章 弯曲应力

§4-4梁横截面上的正应力、梁的正应力强度条件一、概述二、纯弯曲时梁横截面上的正应力三、横力弯曲时的正应力四、梁的正应力强度条件一、概述MFsstFFaa一、概述FFFsFaM横力弯曲FF纯弯曲FF纯弯曲：横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。纯弯曲实验

PPFsPaM一、概述PP1.纯弯曲试验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力1.纯弯曲试验2.

纵向线：1.横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长直线,相对旋转了一个角度平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线梁内横截面变形后仍保持为平面，只是绕着某个轴转动一个角度,仍然与轴线垂直平面假设:纵向纤维之间没有挤压2.

纵向线：1.横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长直线相对旋转了一个角度平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线单向受力假设：既不伸长、也不缩短的纤维层中性层与横截面的交线对称面中性层横截面横截面对称轴轴线中性层中性轴中性轴变形几何关系——中性层的曲率半径mmxnndxybb对于指定的横截面=常量(a)aax2、公式推导oo物理关系(a)(b)横截面上一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比b.

沿横截面的高度，正应力按线性规律变化；

a.

在中性轴上为零比例极限范围内:Myzx横截面上正应力的分布图静力关系(b)MyzdAsxyzM横截面上的应力构成空间平行力系(e)(d)(c)中性轴必须通过横截面的形心自然满足Myzx梁的中性层变形后的曲率，梁的弯曲刚度反映了梁抵抗弯曲变形的能力在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成静力关系梁的轴线变形后的曲率圆弧该截面的弯矩所求点到该截面中性轴的距离该截面对中性轴的惯性矩纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式符号判断法：1.直接代入M和y代数值，σ求出为正，为拉应力；σ求出为负，为压应力。

2.代入M和y绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号

公式讨论正弯矩：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。负弯矩：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。的正负号的判断上下边缘同时达到最大值：A.横截面关于中性轴对称时(如矩形、圆形等)最大应力弯曲截面系数

其中：zyzy反映了梁抵抗弯曲破坏的能力A.横截面关于中性轴对称时B.横截面关于中性轴不对称y2003030zC17013961三、横力弯曲时的正应力可按纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力横力弯曲A.变形后，横截面将发生翘曲，不再保持为平面B.纵向纤维之间还可能会发生挤压精确的分析表明当梁的跨长l与横截面的高度h之比大于5时三、横力弯曲时的正应力最大正应力：弯曲正应力：例1试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的正应力1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE解：yz6010030DE（压）（拉）yz6010030DE或或例：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由18b号槽钢制成。求此梁的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。1mABC2

mF=5kNz解：（1）作弯矩图（2）查表，得（3）计算最大应力

试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放例题M图解：

例：求并求各自的最大拉应力和最大压应力10

20

·

解：200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc

B截面：

C截面：10

20

·

200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc四、梁的正应力强度条件1.对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢)2.对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁）许用拉压应力对等直梁：等直梁：中性轴是对称轴中性轴不是对称轴发生在的截面上。（A）

（B）截面关于中性轴不对称的梁（脆性材料）：等直梁：危险截面：截面关于中性轴对称时：要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩所在截面的最大拉、压应力，再作比较。已知工字钢［σ］=215MPa。试选择工字钢型号。查表N012.6工字钢WZ=77.5cm3例题解：1、作剪力、弯矩图2、选择工字钢型号由得0.937m例

铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用解：试按正应力强度条件校核梁的强度。拉应力

，许用压应力，M2mABC3m1mD2001703030危险截面1、作梁的弯矩图20017030302、计算截面的几何性质

zyC3、强度计算B截面C截面2mABC3m1mDC2001703030zyM强度满足要求4、讨论

若梁的载荷不变，将T形横截面倒置(成⊥形横截面)，是否合理？

因此:倒置不合理2mABC3m1mDC2001703030zy例

铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用拉应力,许用压应力

，

其中，,试计算该梁的许可载荷[F]。

解：危险截面为1400AC600BC1502005050yM作弯矩图A截面：C截面：1400AC600BC1502005050yM对全梁由

得由

得故许可荷载

图示结构承受均布荷载，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力均为[σ]＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可荷载[q]。FB2、根据梁的强度条件确定荷载

例题解：1、作弯矩图0.75m查表得NO.10工字钢:FA故许可荷载3、根据拉杆的强度条件确定荷载例：

承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。(a)(b)(c)zzzz答案：B§4.5梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件横力弯曲另一些梁则是因切应力达到剪切强度极限而破坏横截面上既有正应力、又有切应力实践表明有些梁是因正应力达到拉伸或压缩强度极限而破坏跨度小、截面高的木梁一、狭长矩形截面梁的切应力假设：1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的zyFs即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。Fs

—横截面上的剪力；IZ

—

截面对中性轴的惯性矩；b

—截面的宽度；矩形截面梁弯曲时横截面上任一点的切应力计算公式SZ＊

—该点横线以外部分的面积对中性轴的静矩。

切应力沿截面高度抛物线分布，中性轴上切应力最大，上、下边缘处为零。

矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。

求σmax

,τmax

。

例题解：F/2F/2FSMF/2F/2Fl/4

矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。

求σmax

,τmax

。对细长等直梁

例题解：二、工字形截面梁的切应力

横截面上的切应力(95-97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5)％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t腹板：狭长矩形查表获得式中：整个工字形截面对中性轴的惯性矩该点横线以外部分面积对中性轴的静矩腹板的宽度对工字型钢，发生在中性轴上，三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydDdA为圆环形截面面积四、梁的切应力强度条件

最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；

最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态。(2)在设计梁的截面时：(1)对于细长梁：d.木梁a.小跨度梁b.支座附近有较大荷载c.铆接、焊接或胶合而成的梁再按切应力强度条件校核一般不必校核弯曲切应力强度但在以下几种情况中，必须考虑弯曲切应力强度讨论：通常先按正应力强度条件设计其控制因素通常是弯曲正应力例:试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的切应力.解：1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.

例题4.34两梁叠加:两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.梁中性层处切应力中性层剪力例T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度。CAD40401010ycBCAD40401010ycB1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M图1）求支座约束力：0.25kN1.75kN40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD该梁满足正应力强度要求40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD该梁满足切应力强度要求1FS0.250.75(kN)_+40401010yc例悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求许可荷载。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可荷载3.按切应力强度条件计算许可荷载解：4.按胶合面强度条件计算许可荷载5.梁的许可荷载为§4.6

梁的合理设计1．弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；2．提高梁强度的措施；1)采用合理的截面形状，提高弯曲截面系数Wz2)采用等强度梁或变截面梁3)改善梁的受力条件，降低Mmax一、梁的合理截面形状1．面积A不变，Wz越大，则截面形状越合理2)优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面1)为提高Wz/A，截面上的材料应尽可能远离中性轴zyzyzy2．材料特性对截面形状的要求2)抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受拉侧的截面形状，如T形、槽形等截面1)拉压强度相等的材料，采用关于中性轴对称的截面3．同时需考虑弯曲切应力强度由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲正应力主要由两端翼缘承担，弯曲切应力主要由中间腹板承担yCCy二、采用等强度梁或变截面梁MyxFlABabC变截面梁：1．等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度b(x)固定端等强度梁：各横截面最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力的变截面梁xylHFxHBbzx

该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半和x截面最大正应力相等注意：自由端应按切应力强度条件确定截面的最小宽度。

2、叠板弹簧设计思路：