工程力学第8章

8．1应力状态概念8．1．1应力状态概念所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态，是指通过受力构件内部一点的所有方位截面上的应力情况总和。应力状态分析就是研究不同方位截面上的应力随截面方位的变化而变化的规律。为了描述一点处的应力状态，一般是围绕该点取一个微小的正六面体，该正六面体就称为该点的单元体。单元体的应力状况代表了它所包围的点的应力状况。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的单元体各面上的应力描述。如图8-1为在轴向拉伸杆件内围绕某点截取的两种单元体。在这个单元体六个面上的应力，就代表了这一点的应力状态。当单元体上各个面上的应力已知时，用截面法可以求出任意方位截面上的应力。8．1应力状态概念xyzsa)b)sa图8-1两种不同方向截面的单元体a)沿横截面截取b)沿s斜截面截取

sα-90°tasα+90°satas单元体各面的名称，按照其法线方向的名称来称谓。如图8-1a所示的单元体，其左、右面的法线因沿x轴方向，故皆称为x面；同理，上、下面称为y面，前、后面称为z面。8．1应力状态概念一般情况下，单元体各斜截面上既存在正应力，又存在切应力。但可以证明，任何单元体中都存在三个相互垂直的平面，其上的切应力等于零，8．1．2应力状态的分类这种平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向，主方向一般用主平面法线正方向与坐标轴的正向间夹角来描述。沿主平面截取的单元体称为主单元体，三个主平面上存在三个主应力，按其代数值大小顺序分别用σ1、σ2、σ3表示。根据单元体上不为零的主应力的个数，可将一点处的应力状态分为3大类，即单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态三种类型。

8．2平面应力状态分析8．2．1平面应力状态单元体任意斜截面上的应力如图8-2a所示，设某平面应力状态单元体在x、y平面内的应力分别为σx、τx和σy、τy，根据切应力互等定理可知τx=-τy。现求任意α斜截面ef上的应力，其中α为该斜截面的法线n与x轴的夹角，并规定从x轴的正向出发，逆时针旋转所得的α角为正，反之为负。xxa)tyxefnc)b)图8-2求单元体斜截面上的应力aαtytxtxsysysxsxsxsxsxsysysytxtxtytytxtysatayy8．2平面应力状态分析如图8-2b所示，运用截面法，假想地把单元体沿ef面截开，由分离体的平衡条件，可推导出（推导过程从略）斜截面上的应力sa、ta的计算公式，即（8-1）

由此可知，当σx、σy、τx均为已知时，利用式（8-1）可以求出任意α斜截面上的应力。这种求应力的方法也称为解析法。下面通过实例来说明解析法的应用。8．2平面应力状态分析50MPa50MPa图8-3求单元体指定斜截面上的应力

例8-1

在图8-3所示的应力状态中，求指定斜截面上的应力。解由图可知，α=60°，σx=100MPa，σy=－50MPa

，τx=τy=0。由式（8-1）得8．2平面应力状态分析斜截面上的正应力sa和切应力ta方向如图8-3所示。8．2．2主平面与主应力利用求函数极值的方法，可以确定单元体上的正应力和切应力的最大值以及它们所在截面的方位。对式(8-1)中的第一个方程，令dsa/da

=0，由此方程解出来的角度用a0表示。在a0所确定的截面上，正应力取得极值（也是最大值和最小值）。即

(8-2)8．2平面应力状态分析由此得出

（8-3）

在0°～360°的范围内，式(8-3)可以求出相差90°的两个角度a0和a0+90°，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。比较式（8-1）第二个方程和式（8-2）可见，满足式（8-2）的a0恰好使ta也等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平面上的正应力为主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。从式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一个方程，可以求得最大及最小的正应力，即8．2平面应力状态分析在平面应力状态中，至少有一个主应力为0，其他两个主应力分别为式（8-4）所表示的smax和smin，若smax＞0，smin＜0，则该单元体的三个主应力分别为：s1=smax，s2=0，s3=smin。用完全相似的方法，可以确定最大切应力和最小切应力以及它们所在平面的方位角。在式（8-1）的第二个方程中，令dta/da

=0，由此方程解出来的角度用a1表示。在a1所确定的截面上，切应力取得极值（也是最大值和最小值），即

（8-4）

(8-5)8．2平面应力状态分析比较式（8-3）和式（8-5）可见，tan2a0·tan2a1=-1，故2a1=2a0+π/2，从而a1=a0+π/4，即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面成45°夹角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二式得：

（8-6）

8．2平面应力状态分析例8-2试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其值为

①

在圆轴的最外层，按图8-4a所示方式取出单元体ABCD，单元体应力状态如图8-4b所示，故sx=sy=0，tx=t②由图8-4b可知，该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。这种应力状态称为纯剪应力状态。把②代入式（8-4）得：8．2平面应力状态分析图8-4铸铁试件受扭时的破坏分析a)铸铁试件b)单元体c)断口

MTMTMMa)b)c)45°yABCDs3s1tttt8．2平面应力状态分析将②代入式（8-3）得tan2a0的计算表达式的分母为0，说明2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0=135°。 以上结果表明，从x轴出发，由a0=45°和a0=135°所确定的斜截面为主平面，其主应力分别为s1=smax=t，s2=0，s3=smin=-t纯剪应力状态属于二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于切应力τ，一个为拉应力，一个为压应力。圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂，从而形成与轴线成45°的螺旋断口(见图8-4c)。8．2平面应力状态分析

30MPa60MPa60MPa80MPaa0=56.3s3s1图8-5已知各面应力的单元体

例8-3从受力构件中截取的单元体，其应力状态如图8-5所示。试其求主应力和主平面方位。解(1)求主应力大小。将应力σx=80MPa，σy=30MPa，τx=-60MPa，代入式（8-4），可得

8．2平面应力状态分析故s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa(2)求主平面的方位。由式(8-3)得得a0=33.7°，a0

=a0

-90°=-56.3°将a0=33.7°代入式（8-1）的第一个方程，得sa=120MPa，说明a0=33.7°所确定的平面为主应力s1所在的平面，a0

=-56.3°所确定的平面为主应力s3所在的平面（见图8-5）。8．3三向应力状态与广义胡克定律8．3．1三向应力状态简介ynzxyzxxOOOBCBCpxpzsaa)b)c)图8-6三向应力状态分析a)三向应力状态单元体b)截取四面体c)斜截面上的应力

zpAApyytas1s2s3s1s2s38．3三向应力状态与广义胡克定律这里只讨论当三个主应力已知时（见图8-6），任一斜截面上的应力计算。如图8-6a所示，以任意斜截面ABC从单元体中取出四面体（见图8-6b）。设ABC的法线n与x、y、z轴夹角分别为α、β、γ。先将斜截面ABC上的总应力p分解成与斜截面垂直的正应力σn和相切的切应力τn

（见图8-6c）。根据平衡条件和方向余弦关系（cos2α＋cos2β＋cos2γ=1），可以推导出以下关系式（推导过程从略）：（8-7）

8．3三向应力状态与广义胡克定律式（8-7）即为三向应力状态单元体任意斜截面上的正应力和切应力计算公式。式（8-7）的3个方程，并不完全独立，联立其中任意两个方程求解的2个未知数σn和τn

，都满足第三个方程。可以证明：三向应力状态单元体上正应力和切应力的极值分别为

（8-8）

8．3．2广义胡克定律在单向应力状态下的胡克定律与泊松比为：8．3三向应力状态与广义胡克定律图8-7三个主应力分解为每个主应力单独作用

yzs2s2s3s1s3s2s1s3s3s2s1s1xs1沿三个主方向产生的应变分别为s2沿三个主方向产生的应变分别为

8．3三向应力状态与广义胡克定律s3沿三个主方向产生的应变分别为

应用叠加原理，在单元体上同时存在三个主应力时，三个主应变等于各主应力分别单独存在时所产生应变的代数和（见图8-7），即

（8-9）

8．3三向应力状态与广义胡克定律式（8-9）表明，在复杂应力状态下，沿某主应力方向的线应变不仅与该主应力有关，也与另外两个主应力有关。式（8-9）称为广义胡克定律，它只适用于线弹性小变形条件下的各向同性材料。例8-4设某二向应力状态单元体，已知主应力σ1≠0，σ2≠0，σ3=0，主应变ε1=1.7×10-4。泊松比μ=0.3。试求主应变ε3。解由广义胡克定律（见式(8-9)）

①

8．3三向应力状态与广义胡克定律①+②，同时代入s3=0，可得

②

③

④

再将④式代入广义胡克定律第三式并代入数值得

8．3三向应力状态与广义胡克定律[问题](1)何谓一点处的应力状态?何谓二向应力状态?如何研究一点处的应力状态?(2)如何用解析法确定任一斜截面的应力?应力和方位角的正负符号是怎样规定的？(3)何谓主平面?何谓主应力?如何确定主应力的大小和方位?(4)何谓单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态?何谓复杂应力状态？(5)在单向、二向和三向应力状态中，最大正应力和最大切应力各为何值?各位于何截面？(6)何谓广义胡克定律?该定律是怎样建立的?该定律成立的条件是什么?8．4强度理论1．材料的两种破环形式工程实际和材料破坏实验表明：在静载荷作用下，材料的破坏主要有塑性屈服和脆性断裂两种形式。塑性屈服是指材料由于出现屈服现象或发生显著塑性变形而产生的破坏；脆性断裂是指不出现显著塑性变形的破坏。例如低碳钢和灰铸铁拉伸时发生的破坏，分属典型的塑性屈服和脆性断裂。材料的破坏形式不仅与材料本身有关，而且还与材料所处的应力状态等因素有关。例如，低碳钢在三向拉应力状态时，也会出现脆性断裂。灰铸铁在三向压应力状态时，也会出现显著的塑性变形。2．强度理论的概念关于材料破坏原因的假说并由此而建立的强度准则，称为强度理论。强度理论主要解决复杂应力状态下的强度计算问题。8．4强度理论3．强度理论的分类对应材料两种不同的破坏形式，强度理论相应地分为两类。①解释脆性断裂破坏的强度理论，包括最大拉应力理论和最大拉应变理论。②解释塑性屈服破坏的理论，包括最大切应力理论和形状改变比能理论。现分别给予介绍。8．4．1对应脆性断裂的强度理论1．最大拉应力理论（第一强度理论）这个理论认为，引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应力，即不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应力σ1达到材料单向拉伸时的极限应力σb，材料即发生脆性断裂破坏。按此理论，材料脆性断裂的破坏判据为σ1=σb8．4强度理论其强度准则为

σ1≤[σ]（8-10）铸铁等脆性材料在单向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上，脆性材料的扭转破坏，也发生在最大拉应力所在的斜截面上。最大拉应力理论对这些破坏现象都能作出较好的解释。该理论没有考虑其它两个主应力的影响，无法解释单向压缩、三向压缩等破坏现象。2．最大拉应变理论（第二强度理论）这一理论认为，引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应变。即不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应变ε1达到材料单向拉伸断裂时的极限应变值εb，材料即发生断裂破坏。按此理论，材料脆性断裂的破坏判据为e1=eb8．4强度理论由广义胡克定律有（见式(8-9)）考虑以上两式，可得到用应力表示的破坏判据为s1－m(s2＋s3）=sb相应的强度准则为

s1－m

(s2＋s3）≤[s]（8-11）这一理论对于石料或混凝土受压时沿纵向断裂的现象，能得到很好的解释，但未被金属材料的实验所证实。8．4强度理论8．4．2对应塑性屈服的强度理论1．最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为，引起材料屈服破坏的主要因素是最大切应力。无论材料处于何种应力状态，只要危险点的最大切应力达到材料单向拉伸时的极限切应力τs，材料就发生塑性屈服破坏。按此理论，材料塑性屈服的破坏判据为τmax=τs又杆在轴向拉伸时，最大切应力发生在与轴线成45°的斜截面上。在发生屈服破坏时，相应的极限切应力为8．4强度理论于是破坏判据改写为s1－s3=ss

（8-12）

相应的强度准则为：试验表明，这一理论能较好地解释塑性材料出现的塑性屈服现象，但是它未考虑到主应力s2对材料屈服的影响。8．4强度理论2．形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论认为，引起材料屈服的主要因素是形状改变比能。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能达到材料单向拉伸时的极限形状改变比能，材料就发生塑性屈服破坏。相应的强度准则为

（8-13）

试验表明，对于塑性材料，第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果。这两个强度理论在工程中都得到广泛的应用。上述四种理论的强度准则可以写成如下的统一形式：sxd≤[s]（8-14）式中sxd——相当应力。8．4强度理论各种强度理论相当应力分别为sxd1=s1

sxd2=s1-μ(s1+s3)sxd3=s1-s3sxd4=使用强度理论时，应注意以下问题：（1）强度理论的选择。应根据材料的特性和应力状态选择适当的强度理论。1）对于脆性材料，常发生的是脆性断裂，应采用第一强度理论或第二强度理论。对于塑性材料，大多是因塑性屈服而失去工作能力，所以常采用第三或第四强度理论。8．4强度理论2）从第三或第四强度理论可以发现，材料的强度都和主应力的差值有关。这就是说，如果材料是处于三向拉伸应力状态下，而三个主应力的差值又不随着主应力的