平面向量题型归纳（教员版）

...wd......wd......wd...平面向量中的两个定理1.向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，运算法那么：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λ与的方向一样；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作＝，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标．②设，那么向量的坐标就是终点A的坐标，即假设，那么A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)类型一、共线向量定理的应用【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】设两个非零向量与b不共线，(1)假设＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k同向．【例2】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝eq\f(2,3)，＝，＝(1)用，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】见解析【解析】(1)延长AD到G，使＝eq\f(1,2)，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝＋，那么有＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(＋)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，＝－＝eq\f(1,3)(＋)－＝eq\f(1,3)(b－2)，＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)(b－2)．(2)证明：由(1)可知＝eq\f(2,3)，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．类型二、平面向量基本定理的应用【例3】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1【答案】D【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ))无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ))无解；选项D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．【例4】如图，以向量＝，＝为邻边作▱OADB，＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，用，表示，，.【答案】见解析平面向量的线性运算与坐标运算1.向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法那么平行四边形法那么(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法那么a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向一样；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).[来源:学.科.网](2)向量坐标的求法：①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么＝(x2－x1，y2－y1)，||＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.应用举例:类型一、平面向量的线性运算【例1】设D为△ABC所在平面内一点，＝3，那么()A．＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)B．＝eq\f(1,3)－eq\f(4,3)C．＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)D．＝eq\f(4,3)－eq\f(1,3)【答案】A类型二、平面向量的坐标运算【例4】假设向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，那么c可用向量a，b表示为()A.eq\f(1,2)a＋bB．－eq\f(1,2)a－bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b【解析】设c＝xa＋yb，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))那么c＝eq\f(1,2)a＋b.【例5】点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，假设＝－3a，那么点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)【解析】＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，那么＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))【答案】A平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．〔2〕两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③假设a＝(x，y)，那么|a|＝eq\r(x2＋y2).实战演练:1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，那么＝()A．b－eq\f(1,2)aB．b＋eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)bD．a－eq\f(1,2)b【解析】＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.【答案】A2．向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，假设3a－2b＋c＝0，那么c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．平面向量的数量积1.平面向量数量积(1)平面向量数量积的定义:假设两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，那么数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．向量数量积的运算律:(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.平面向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．平面向量数量积的重要性质：(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：(1)假设a＝(x，y)，那么|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B两点间的距离|AB|＝＝eq\a\vs4\al(\r(x1－x22＋y1－y22)).(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.应用举例:类型一、平面向量的数量积的运算【例1】设向量＝(－1,2)，＝(m,1)，如果向量＋2与2－平行，那么与的数量积等于()A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)【例2】＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，那么向量在方向上的投影为()A．－eq\f(3\r(2),2)B．－3eq\r(5)C.eq\f(3\r(2),2)D．3eq\r(5)【解析】因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝eq\f(·,||)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).类型二、平面向量的数量积的性质角度一：平面向量的模；【例3】向量，，．【答案】角度二：平面向量的夹角；【例4】【向量满足,且,那么的夹角的余弦值为〔〕A.0B.C.D.【解析】，，所以选B.【例5】，，且，那么向量与的夹角为〔〕A．B．C．D．【解析】依题意有，解得.角度三：平面向量的垂直．【例6】向量满足，，，那么向量与的夹角为．实战演练:1．，，假设，那么实数〔〕A．B．3C．6D．8【解析】,解之得，应选C．2．假设向量，，，那么、的夹角是〔〕A.B.C.D.3．向量〔〕A、B、C、D、【答案】B【解析】由解得．4．，，且与夹角为120°，那么=________.【答案】．【解析】，且与夹角为，，，，故答案为．5．|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)假设，求△ABC的面积．【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).(3)∵与的夹角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又＝|a|＝4，＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).借用基本不等式解决最值、范围问题1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，那么a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题x>0，y>0，那么〔1〕如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)〔2〕如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)利用基本不等式求最值【例1】【2017山东淄博模拟】a>0，b>0，a＋2b＝3，那么eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．【答案】eq\f(8,3).【解析】由a＋2b＝3得eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(4,3)＋eq\f(a,3b)＋eq\f(4b,3a)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq\f(8,3).当且仅当a＝2b＝eq\f(3,2)时取等号．【例2】a为正实数且a2＋eq\f(b2,2)＝1，那么aeq\r(1＋b2)的最大值为________．【答案】eq\f(3\r(2),4).【解析】因为a>0，所以aeq\r(1＋b2)＝eq\r(2)eq\r(a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2))))≤eq\f(\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2))))),2)，又a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(b2,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(b2,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以aeq\r(1＋b2)≤eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(3,2)))＝eq\f(3\r(2),4)，当且仅当a＝eq\f(\r(3),2)，b＝eq\f(\r(2),2)时等号成立．即(aeq\r(1＋b2))max＝eq\f(3\r(2),4).【例3】x>0，那么eq\f(x,x2＋4)的最大值为________．【答案】eq\f(1,4).【解析】因为eq\f(x,x2＋4)＝eq\f(1,x＋\f(4,x))，又x＞0时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x×\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时取等号，所以0<eq\f(1,x＋\f(4,x))≤eq\f(1,4)，即eq\f(x,x2＋4)的最大值为eq\f(1,4).【例4】假设log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，那么a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3)B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3)D．7＋4eq\r(3)【答案】D【解析】因为log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋4b>0，,ab>0，))即a>0，b>0，所以eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,4)时取等号，应选D.【例5】设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))假设目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，那么eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．eq\f(25,6)B．eq\f(8,3)C．eq\f(11,3)D．4【答案】D【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影局部所示．由z＝ax＋by得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－eq\f(a,b)，在y轴上的截距为eq\f(z,b)，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋3b,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(2,b)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋6＋\f(4a,b)＋\f(9b,a)))≥4，当且仅当a＝eq\f(3,2)，b＝1时等号成立．实战演练:1．设非零实数a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2〞成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B2．不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，那么正实数a的最小值是()A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴当1＋a＋2eq\r(a)≥9时不等式恒成立，故eq\r(a)＋1≥3，a≥4.3．a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，那么m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意知：ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．直线与圆1.【圆的圆心到直线的距离为1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，应选A．2.一条光线从点射出，经轴反射后与圆QUOTE（x+3)2+(y-2)2=1相切，那么反射光线所在直线的斜率为〔〕〔A〕或〔B〕QUOTE）-32或QUOTE-23〔C〕或〔D〕或【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，那么反身光线所在直线方程为：，即：.又因为光线与圆相切，所以，,整理：，解得：，或,应选D．3.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆