自动控制原理-第二章课件

第2章——自动控制系统的数学模型

2．1控制系统的微分方程

2．2传递函数2．3控制系统结构图及其等效变换2．4脉冲响应函数本次内容简介

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电路系统中的基尔霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。本次内容简介有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。数学模型1、定义：控制系统的输入变量和输出变量之间动态关系的数学表达式即为数学模型，能够揭示系统的结构参数与动态性能之间关系。2.表示形式

a.微分方程；b.传递函数，c.频率特性3.三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统概念、指标体系等易于人们理解和使用。但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立复域和时域之间、频域和时域之间的联系来达到，通过根轨迹法、频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。

系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。

2．1控制系统的微分方程

控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。

建立系统微分方程的一般步骤或方法：1．根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。2．对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。3．根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。若系统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下必须注意各分段之间的负载效应问题。4．消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。列写微分方程的一般步骤确定元件的input量和output量，并引入必要的中间变量根据物理或化学定律，列微分方程消去中间变量，得出元件的数学模型

2．1．1电气系统

电气系统中最常见是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的的装置,其电路又称电气网络。像电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电源，就称为有源网络．例1

图中所示的电路中，电压ui(t)为输入量，uo(t)为输出量，列写该装置的微分方程式。解设回路电流为i(t)如图2-1所示．由基尔霍夫电压定律可得到(2-6)式中i(t)是中间变量。i(t)和uo(t)的关系为（2-7）将式（2-7）代入式（2-6），消去中间变量i(t)，可得例2

图中所示为由两个RC电路串联而成的滤波网络。试建立输入电压ui和输出电压uo之间动态关系的微分方程。例2

解设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回路，有

（2-9）对后一回路，有

（2-10）且

（2-11）由上三式消去中间变量i1和i2，整理即得ui和uo之间动态关系的微分方程

由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应(或前一部分对后一部分的电源效应)。这反映在流过前一回路电容C1的电流上，没有后一回路时为i1，而当串联上后一回路则为i1–i2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。如果在上述两个RC电路之间引入一个输入阻抗很高的隔离放大器，则可忽略它们之间的负载效应。这种方法在组合电路中经常采用，这也正是电气系统的一个优点。

2．1．2机械系统

机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。例3

一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图2-3所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量。列写系统的运动方程。解取向下为力和位移的正方向。当F(t)=0时物体的平衡位置为位移y的零点。该物体m受到四个力的作用：外力F(t)，弹簧的弹力Fk，粘性摩擦力FB及重力mg。Fk、FB向上为正。由牛顿第二定律知(2-16)且

（2-17）（2-18）（2-19）式中yo为F=0、物体处于静平衡位置时弹簧的伸长量，将式（2-17、18、19）代入式（2-16）得到该系统的运动方程式

2．2传递函数

一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。

传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。

当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为G（s），即：控制系统微分方程式的一般形式为：

设初始条件为零，并对上式进行Laplace变换，经整理得：

M（s）──传递函数的分子多项式；N（s）──传递函数的分母之多项式。

2．2．2传递函数的性质

1.传递函数它只适用于线性定常系统，且只能反映零初始条件下的全部运动规律。2.传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）的各项系数均由系统或元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。3.传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。4.由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不可能无限制上升，因而有：n≥m。5.传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统，选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。6.传递函数还可以用下式表达：上式中Kr──常数；

z1﹒z2﹒﹒﹒zm──分子多项式M=0的根，称为零点；

p1﹒p2﹒﹒﹒pn──分母多项式N=0的根，称为极点。N（s）=0是控制系统的特征方程式，它与微分方程式的特征方程式一一对应。zi、pi可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。注意，只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次。2.求取RLC无源网络或有源网络的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。

元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数电阻R

电感L电容C

传递函数的求取

1.直接计算法对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。线性系统的两个重要性质1.齐次性如果线性系统对输入信号x（t）的响应为y（t），则输入信号为ax（t）时，其响应为ay（t）。2.叠加性如果线性系统对x1（t）和x2（t）的响应分别为y1（t）和y2（t），则系统输入信号为x1（t）+x2（t）时，系统的响应应为y1（t）+y2（t）。

由线性系统的齐次性和叠加性可知：作用于线性定常系统的多个输入信号（它们可以作用于不同的输入端）的总的响应等于各个输入信号单独作用时产生的响应的代数和。线性系统的这两个重要性质使得线性定常系统的分析大为简化。3.利用动态框图求取传递函数对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。4.利用梅逊公式求取传递函数。例5求例1的RLC串联电路的传递函数.

解法1求例1在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感L、电容C和电阻R，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令Z1=R+Ls，为电阻和电感的复数阻抗之和；为电容的复数阻抗。则

解法2例1的RLC串联电路的微分方程为

当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为2．2．3典型环节的传递函数

传递函数的时间常数表示法

上式中τ

i──分子各因子的时间常数；Tj──分母各因子的时间常数；K──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。关于传递函数的几点说明只适应线性定常系统；由系统（元件）的参数、结构决定，是系统的动态数学模型；n>m,n为系统的阶数单输入——单输出传递函数写法：有理分式:零极点形式:时间常数形式：

典型环节都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。即一个系统或元件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节。控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节，微分环节，积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。

1．比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为2．微分环节理想微分环节的特点是，其输出量与输入量的一阶微分成正比，即

式中τ—时间常数。其传递函数为当τ«1时，才能近似地得到

比例环节的特征参数只有一个，即放大系数K。工程上如无弹性变形的杠杆传动、电子放大器检测仪表、比例式执行机构等都是比例环节的一些实际例子。3．积分环节积分环节的输出量是输入量对时间的积分，即

式中K为比例系数，K与时间量纲有关。当输入量和输出量为相同的理量时，K的量纲为s-1，故可将积分环节的系数（积分时间常数）写成积分环节的传递函数为

4．一阶微分环节

该环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和，其传递函数为比例微分环节为比例环节和理想微分环节的叠加。比例-微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数。5．惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输出量和输入量之间的关系可用以下的微分方程描述对应的传递函数为式中T——时间常数；

K——比例系数。T:时间常数它是一条指数曲线，当时间t=3T~4T时，输出量才接近其稳态值。6．振荡环节振荡环节的微分方程是

其传递函数为

式中T——时间常数；ωn——无阻尼振荡频率；ξ——阻尼比，<1。

7．二阶微分环节二阶微分环节的微分方程为二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数。

（0<ξ<1）

8．延迟环节

延迟环节是输入信号加入后，其输出端要隔一段时间才能复现输入信号的环节。它的时间特性表示为其拉氏变换为

传递函数为由于延迟环节是系统产生振荡的原因，所以系统中如有延迟环节，对系统的稳定是不利的。x(t)ty(t)tt即输出完全复现输入，只是延迟了t时间。t为延迟环节的特征参数，称为"延迟时间"或"滞后时间"。

2．3控制系统结构图及其等效变换传递函数方块图是系统基于传递函数的一种图形表示的数学模型。其中的每一个方块代表系统的一个组成环节。

方块图,又称为结构图或框图。控制系统中常用方块图来形象地描述各元件（环节）之间和各作用量之间的相互关系，它具有简明、直观和运算方便的特点。

出现在方块图中的环节是以无负载效应为前提的。方块图表示系统的优点：可以清楚地表明系统内部信号流动的情况和各环节各变量之间的关系；可以揭示各环节对系统性能的影响；可以根据信号的流向，将各环节的方块图连接起来，得到整个系统的方块图，从而较易写出整个系统的传递函数。

2．3．1结构图的组成结构图由方块、相加点、分支点、信号流线等图形符号组成。方块图利用这些符号表示各个环节的传递函数，以及各环节输出量、输入量的相互关系。结构图是传递函数的图解化。

把一个环节的传递函数写在一个方块里面所组成的图形就叫函数方块。在方块的外面画上带箭头的线段称为信号流线。函数方块和它的信号流线就代表系统中的一个环节。把一个系统的各个环节全用函数方块表示，并且根据各环节信号的相互关系，用信号流线和相加点把各个函数方块连接起来，这样形成的一个完整图形就是系统的动态结构方块图。下图是一个负反馈系统的结构图。

2．3．2绘制结构图的步骤

2．根据运动方程，写出传递函数。对电路模型，省略第1步，直接根据系统电路写出传递函数。3．根据传递函数，画出各环节的结构图。4．根据信号流向，将各方块联结起来．便得出系统的结构图。1．首先写出每个环节的运动方程。特别要注意的是：在列写运动方程时，一定要考虑到相互联接部分间的负载效应，当一个方块的输出与下一个方块的输入相联接，并基本上不受下一方块影响时，就认为是没有负载效应的。只有在没有负载效应时，前一方块中的传递函数才可以按独立方块进行计算，当有负载效应时，该方块中的传递函数不同于独立方块时的传递函数，必须在计入负载影响的情况下重新计算。例11绘出下图所示两级RC网络的结构图。解（1）列写运动方程（2）将上面各式取拉氏变换。取零初始条件，并整理成因果关系式

（3）作出相应的方块图，如下图所示。（4）将各元件方块图按信号流向联结起来，便得到两级RC网络的方块图，如图(b)所示。注意：图(b)并不等于两个RC网络的方块图的串联，因为两级RC电路之间有负载效应。

2.3.3结构图的简化规则

对方块图进行变换所要遵循的基本原则是等效原则，即对方块图的任一部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。结构图变换规则：

1．串联环节的简化：若干环节串联起来的总传递函数等于各环节传递函数的乘积（各环节间应无负载效应）。以下图所示的串联环节为例，可知：

2．并联环节的简化：若干环节并联起来的总传递函数等于各环节传递函数的代数和。以下图所示的并联为例，可知3．反馈回路的简化下图（a）表示的具有反馈联接的最基本的闭环系统，设GB(s)为该闭环系统的传递函数，则其等效方块图如下图(b)所示。式中GK(s)——闭环系统的开环传递函数，

开环传递函数无量纲。注意，开环传递函数是闭环系统分析中的一个重要概念。开环传递函数并不是指开环系统的传递函数，它主要用来研究控制系统的固有性能，其系数与系统的特征参数相对应。

4．相加点的移动法则：相加点移动后应保持原输出信号不变。（1）相加点后移相加点由传递函数为G的方块图之前移至该方块之后，如下图所示，需要在X2信号流向线上加一个传递函数为G的方块。（2）相加点前移读者自己试分析。（3）相加点互移两相邻相加点之间的换位移动，无需作其它变换。相加点前移Y+-Y5．分支点的移动法则：分支点移动后应保持分支点引出线上的信号不变。（1）分支点前移分支点由传递函数为G的方块之后移至该方块之前，如下图所示，需要在分支点引出线上加一个传递函数为G的方块。

（2）分支点后移：读者自己试分析。（3）分支点由相加点之后移至相加点之前如下图所示，需要在分支点引出线上加一个情况完全相同的相加点。总结：上面这些规则都是根据下列两条原则得到的，即（1）变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；（2）变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。6.利用框图代数求取传递函数在利用框图代数求取传递函数中，较为困难的是求取交叉反馈的多环控制系统（MultipleLoopFeedbackControlSystem）的传递函数。简化的关键是利用引出点（分支点）和比较点（相加点）的移动规则解除环间的交叉，简化成大环套小环的互不交叉的多回路框图形式。而对多回路框图，可以由里向外进行变换，直至变换成一个等效的功能框。（4）分支点由相加点之前移至相加点之后：读者自己试分析。例12

简化下图，求出系统的传递函数。

第一步：将信号线I2的分支点移到Y处，信号取出线上应增加特性为C2s的环节；将信号I2的相加点移到U处，信号线上应增加特性为R1的环节。变换结果如下图（a）所示。第二步：