圆心角及圆周角的关系精品课件

第三节圆周角和圆心角的关系(一)第三章圆回顾与思考如图1,∠AOB是

角。OAB如图2,AB=CD,则∠AOB与∠COD的大小关系是：

。BAOCD圆心相等用心想一想在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。用心想一想如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么共同特征吗?用心想一想为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ABC用心想一想观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。ABC请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？为解决这个问题，我们先回答下面的问题。下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。ABCDE由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。你能总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②两边在圆内的部分是圆的两条弦。我们再来研究圆周角的性质。为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。AC我们得到以下几种情况。①∠ABC的一边BC经过圆心O。②∠ABC的两边都不经过圆心O。③∠ABC的两边都不经过圆心O。请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。BAOC①ABCO②BACO③我们首先考虑最特殊的一种情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO。∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系.BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO。∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ABCOBACO我们首先考虑最特殊的一种情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。ABCO也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。D（此时我们得到与图①同样的情形）132BAOC①∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3。∵OA=OB，∴∠2=∠3。∴∠1=2∠2，∴∠2=∠1。125412同理,∠4=∠5。12∴∠2+∠4=（∠1+∠5）。∴∠ABC=∠AOC。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠AOD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12∴∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD=（∠AOD－∠COD）。∴∠ABC=∠AOC12121212认真观察，探求结果通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？BAOCABCOBACO一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

。一半AOCB一题多变如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=

。点拨：此题要选择关键点：∠BOC与∠BAC对着BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。25°

AOCB一题多变如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=

。变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=

。ABCO变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=

。

25°

50°

80°

由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。开拓创新试一试如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。

答：∠ACB=2∠BAC.理由是:∵∠AOB=2∠ACB∠BOC=2∠BAC∠AOB=2∠BOC∴2∠ACB=2（2∠BAC）∴∠ACB=2∠BAC大胆尝试，练一练！ABCDO如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200°

，则∠BOD就可求。

解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1大胆尝试，练一练！ABCDO如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。

∴∠BAD=∠BOD=×160°=80°

1212课内拓展延伸1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2.课后思考如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？第三节圆周角和圆心角的关系(二)第三章圆耐心填一填，一锤定音！ABCO1.如图，∠BOC是

角，∠BAC是

角。若∠BOC=80°，∠BAC=

。圆心圆周40°

2.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°，则∠BCA=（）25°B.32.5°

C.30°D.45°

ABCOA用心想一想，马到功成观察图①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？BAECDO答：∠ABC，∠ADC和∠AEC都是圆周角。它们的共同特征是：它们都对着AC根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于圆心角∠AOC的一半。所以这三个角是相等的。由此你得到什么结论？这三个角是相等的。理由是：图①用心想一想，马到功成BAECDO结论是：在同圆中，同弧所对的圆周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。答：结论不成立。请看图。AB12用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？因为这三个角都对着AC，所以它们相等。用心想一想，马到功成观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？ABCO答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°。图②BCAO观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？图③答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90°可得圆心角∠BOC=180°。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。放开手脚做一做小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图（2）是半圆形。理由是：90°的圆周角所对的弦是直径。

放开手脚做一做如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？ABCDO分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。

解：BD=CD。理由是：连接AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。又∵AC=AB。∴BD=CD教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：连接BE.

假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。大胆尝试，练一练1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。2.如图，哪个角与∠BAC相等？ABCD答：∠BDC=∠BAC。3.如图,⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC=30°，求AC的长。ABCO12解：∵AB为⊙O的直径。∴∠ACB=90°