【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第5知识块第3讲 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版

第3讲等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.【考纲下载】1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比等于

，这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的

，记作q.(2)通项公式：等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则称an＝

为数列

{an}的通项公式．(3)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么

叫做a与b的等比中项，且

＝ab.2同一个常数a1qn－1G公比G2提示：等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等．【思考】

推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？你掌握了吗？不妨看一下课本．答案：错位相减法3．等比数列的重要性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)．(2)an＝a1qn－1可推广为an＝amqn－m.(3)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.①当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}为递增数列；

②当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}为递减数列；

③当q＝1时，数列{an}是(非零)常数列；

④当q<0时，数列{an}是摆动数列．提示：等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(

)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：∵等比数列中隔一项的符号相同，∴b＝－3＝

∴ac＝b2＝9.答案：B解析：当公比q＝1时，an＝a3＝7，S3＝21满足条件；当公比q≠1时，有

，解得q＝2．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(

)A．1 B．C．1或

D．答案：C3．(2009·广东卷)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝(

)A. B. C. D．2解析：∵a3·a9＝又a2＝1＝a1·，∴a1＝答案：B4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.解析：由已知：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得a＝5，则a1＝4，q＝

∴an＝4·1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．

2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1的判断和讨论．【例1】

已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝求{an}的通项公式．思维点拨：根据等比数列定义、通项公式及性质建立首项，公比的方程组．解：解法一：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，

a2＝

a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝解得q1＝，q2＝3.当

q＝时，a1＝18.∴an＝18× ＝2×33－n.当q＝3时，a1

＝∴an＝×3n－1＝2×3n－3.解法二：由a3＝2，得a2a4＝4，又a2＋a4＝则a2，a4为方程x2－x＋4＝0的两根，解得①当a2＝时，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3；②当a2＝6时，q＝an＝2×33－n.∴an＝2×3n－3或an＝2×33－n.1.证明数列是等比数列的两个基本方法是：(1)＝q(与n值无关的常数)(n∈N*)．(2)A＝anan＋2(n∈N*)．2．定义不仅能证明一个数列是等比数列，也能判定一个数列不是等比数列，只须通过具有三个连续项不成等比数列证明，也可以用反证法．3．解题的过程，常表现在“猜”与“凑”．“猜”即猜测解题方向；

“凑”，即凑此方向．对于证明题，因为结论已明确，所以需要的是

“凑”的功夫．【例2】

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；思维点拨：(1)构造新数列{an＋1－an}；(2)累加，求和得an.证明：(1)∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，

∴ ＝2(n∈N*)．又∵a1＝1，a2＝3，

∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an－an－1＝2n－1an－1－an－2＝2n－2⋮a3－a2＝22a2－a1＝21以上式子相加得：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－1.变式2：(1)已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．解：(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，故有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－

pcn－1)．将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋

3n－1)]，即[(2－p)2n＋(3－p)3n]2＝[(2－p)2n＋1＋(3－p)×3n＋1][(2－p)2n－1＋(3－

p)·3n－1]．整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0.解得p＝2，或p＝3.(2)设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn.求证{cn}不是等比数列只需证c≠c1·c3.事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝a

q2＋2a1b1pq，c1·c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列.巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力．【例3】

等比数列{an}的前n项和等于2，紧接在后面的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求出S.思维点拨：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过求qn和来解决问题．解：解法一：设依次n项之和分别为：A1，A2，A3…则有A1＝2，A2＋A3＝12，A4＋A5＋A6＝S，而数列{An}为等比数列，公比为qn，∴A2＋A3＝2qn＋2q2n，∴2qn＋2q2n＝12，∴q2n＋qn－6＝0，∴qn＝2或qn＝－3.当qn＝2时，S＝A4＋A5＋A6＝2×23＋2×24＋2×25＝112；当qn＝－3时，S＝A4＋A5＋A6＝2×(－3)3＋2×(－3)4＋2×(－3)5＝－378.所以S的值为112或－378.解法二：由题意得q≠1，且∴qn(qn＋1)＝6，∴qn＝2或qn＝－3.∴S＝－2×23×(1－23)＝112或S＝×(－3)3×[1－(－3)3]＝－378.拓展3：将本例中条件改为前n项和为2，前2n项为12，求前3n项和． 解：由等比数列的性质可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．

∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， 即102＝2(S3n－12)，∴S3n＝62.由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，应善于运用函数与方程的思想方法解决问题．【例4】

设数列{an}，a1＝若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an－1x2－anx

＋1＝0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.(1)求证：为等比数列；(2)求an；(3)求{an}的前n项和Sn.证明：(1)∵将α＋β＝

代入3α－αβ＋3β＝1，得an＝∴ 为定值．∴数列是等比数列．(2)解：∵a1－

∴an－【方法规律】等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点．1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.2．在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．3．等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和．4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；

(2)若{an}是等比数列，且an＞0，则{lgan}构成等差数列．【高考真题】(2009·山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝

(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【规范解答】解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1，当b＝2时，an＝2n－1，所以bn＝两式相减得故Tn＝

(n∈N*)．【探究与研究】创新是高考命题的要求，《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势，本题将数列的递推关系式以点在函数图象上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念．第(2)问中对b的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达到“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想．本题在设置等比数列的递推关系式时，以点(