第27章相似复习课

<<相似三角形的判定>>复习课一、复习：1、相似三角形的定义是什么？答：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、判定两个三角形相似有哪些方法？答：A、用定义；B、用预备定理；C、用判定定理1、2、3.D、直角三角形相似的判定定理3、相似三角形有哪些性质1、对应角相等，对应边成比例2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。一.填空选择题:1.(1)△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而

(2)△ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，则△AED与△ABC的相似比为______.2.如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,

则△AED和△ABC

的相似比为＿＿＿.3.

已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.AC2:552cm1:21.如图，△ADE∽△ACB,

则DE:BC=_____。2.如图，D是△ABC一边BC

上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4二、证明题：1.

D为△ABC中AB边上一点，

∠ACD=∠ABC.

求证：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，

连AM.

求证：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME3.如图，AB∥CD，AO=OB，

DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.4.过

ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边

DC的延长线于E、F、G.

求证：EA2=EF·EG.5.△ABC为锐角三角形，BD、CE

为高.

求证：△ADE∽△ABC

（用两种方法证明）.6.已知在△ABC中，∠BAC=90°，

AD⊥BC,E是AC的中点，ED交

AB的延长线于F.

求证:AB:AC=DF:AF.

解:∵∠AED=∠B,∠A=∠A

∴△AED∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）

∴

1.(1)△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而

解:∵D、E分别为AB、AC的中点

∴DE∥BC，且

∴△ADE∽△ABC

即△ADE与△ABC的相似比为1:2

(2)△ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，则△ADE与△ABC的相似比为______2.

解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AD:DB=2:3∴DB:AD=3:2∴(DB+AD):AD=(2+3):3

即AB:AD=5:2∴AD:AB=2:5

即△ADE与△ABC的相似比为2:5如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.3.已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.解:

设三角形甲为△ABC，三角形乙为△DEF，且△DEF的最大边为DE，最短边为EF∵△DEF∽△ABC∴DE:EF=6:3即10:EF=6:3∴EF=5cm4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.解:

∵△ABC∽△BDC

∴

即

∴DC=2cm5.解:∵△ADE∽△ACB

且

∴如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。7.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，DE∥BC，

∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC1.

D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.

求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需要先将乘积式改写为比例式，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。证明:∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC△ACD

∴∴AC2=AD·AB2.△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.

求证：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME证明：①∵∠BAC=90°M为斜边BC中点

∴AM=BM=BC/2∴∠B=∠MAD又∵∠B+∠BDM=90°∠E+∠ADE=90°∠BDM=∠ADE∴∠B=∠E∴∠MAD=∠E又∵∠DMA=∠AME∴△MAD∽△MEA②∵△MAD∽△MEA

∴

即AM2=MD·ME3.

如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.分析：欲证ED2=EO·EC，即证：

，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。证明：∵AB∥CD∴∠C=∠A∵AO=OB，DF=FB∴∠A=∠B，∠B=∠FDB∴∠C=∠FDB

又∵∠DEO=∠DEC∴△EDC∽△EOD∴，即ED2=EO·EC4.

过

ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边

BC、边DC的延长线于E、F、G.

求证：EA2=EF·EG.

分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.证明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴5.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高.

求证：△ADE∽△ABC（用两种方法证明）.证明一：

∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ABD+∠A=90°，

∠ACE+∠A=90°∴∠ABD=∠ACE

又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC

证明二：∵∠BEO=∠CDO∠BOE=∠COD∴△BOE∽△COD∴

即又∵∠BOC=∠EOD∴△BOC∽△EOD∴∠1=∠2∵∠1+∠BCD=90°，

∠2+∠3=∠90°∴∠BCD=∠3

又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC6.

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.分析：因△ABC∽△ABD，所以，要证

即证，需证△BDF∽△DAF.证明：∵∠BAC=90°AD⊥BC∴∠ABC+∠C=90°∠ABC+∠BAD=90°∴∠BAD=∠C∵∠ADC=90°E是AC的中点，∴ED=EC∴∠EDC=∠C∵∠EDC=∠BDF

∴∠BDF=∠C=∠BAD又∵∠F=∠F∴△BDF∽△DAF.∴∵∠BAC=90°，AD⊥BC∴△ABC∽△ABD∴∴1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ACP∽△ABC．

解:⑴∵∠A=∠A，∴当∠1=∠ACB（或∠2=∠B）时，△ACP∽△ABC⑵∵∠A=∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，△ACP∽△ABC⑶∵∠A=∠A，当∠4＋∠ACB＝180°时，△ACP∽△ABC答：当∠1=∠ACB或∠2=∠B或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°时,△ACP∽△ABC.APBC1241、条件探索型三、探索题2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似DABCab解:⑴∵∠1＝∠D＝90°∴当时，即当时，△ABC∽△CDB,∴⑵∵∠1＝∠D＝90°∴当时，即当时，△ABC∽△BDC，∴答：略.１

这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件．解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件．1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.C解：有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）2、结论探索型ABDEGF１22.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论．解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.3.存在探索型

如图,DE是△ABC的中位线，在射线AF