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第三章圆3.3垂径定理等腰三角形是轴对称图形吗?如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?类比引入③AM=BM,●OABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M。
(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能图中有哪些等量关系?说一说你的理由。猜想探索连接OA,OB,则OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒
AD=BD.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。几何语言垂径定理判断下列图形,能否使用垂径定理?OCDBA注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦××√想一想BOCDAOCDE③CD⊥AB,垂径定理的逆定理●OCD
由①CD是直径②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.(1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?想一想OCDBAEODCF例:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点0是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径。⌒⌒⌒知识应用解这个方程,得R=545.EODCF解:连接OC,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD根据勾股定理,得OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以,这段弯路的半径为545m.1、1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2米,求桥拱所在圆的半径。(结果精确到0.1米)。随堂练习2、如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?OCDBAOCDBAOCDBAFE有三种情况:1、圆心在平行弦外;2、圆心在其中一条弦上;3、圆心在平行弦内。随堂练习若⊙O中弦AB∥CD。那么AC=BD吗?为什么?⌒⌒解:AC=BD,理由是:作直径MN⊥AB。∵AB∥CD,∴MN⊥CD。则AM=BM,CM=DM(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)∵AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2、解决有
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