【走向高考】高三数学一轮复习 121计数原理与概率课件（北师大）

1．排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分，也是密切联系实际较强的一部分，一直是高考必考内容．从近几年各地高考试题看，预计仍会出排列、组合试题，试题的难度为“较易”到“中等”程度；排列、组合的试题仍会以现实生活中的生产问题、经济问题等为背景．2．历年高考的二项式定理试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，是多年来缺少变化的试题；考查内容还是以每年考的几方面为主，难度不大；重点考查的内容主要有：求多项式系数和、求某项系数、求二项式中的参数值、求常数项，有理项系数最大项、求整数余数、求近似值；试题常以选择或填空形式出现，有时解答题也会涉及到这些内容，难度与课本习题相当．3．古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题，是高考重点关注的一个点，但深度有限．几何概型只要求会解决与长度、面积、体积相关的概率问题，重点是理解概率、学会转化、计算准确快捷，不宜过于深化与拓展．4．随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现，分值一般在12分左右，属中、低档题．重点考查离散型随机变量的分布列，以及由此分布列求随机变量的均值、方差，特别是二项分布．1．(1)分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于本单元学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决或分步解决，是本单元学习的重点．(2)正确区分使用两个原理是学好本单元的关键．区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则，就分步处理.2．二项式定定理是一个恒恒等式，对待待恒等式通常常有两种思路路：一是利用用恒等定理(两个多项式式恒等，则对对应项系数相相等)；二是是赋值．这两两种思路相结结合可以使很很多二项式展展开式的系数数问题迎刃而而解(要注意意二项式系数数与二项式展展开式的系数数之间的区别别)．3．(1)概概率问题应用用广泛，贴近近生活，本部部分知识既有有必修内容，，也有选修内内容．随着高高考改革的不不断深入，概概率问题正逐逐步成为高考考的热点内容容．(2)解决概概率应用问题题时，首先熟熟悉几种常见见的概率类型型，熟练掌握握其计算公式式；其次还要要弄清问题所所涉及的事件件有什么特点点，事件之间间有什么联系系．4．求随机变变量的分布列列，重要的基基础是概率的的计算，如古古典概率、互互斥事件概率率、相互独立立事件同时发发生的概率，，n次独立重复试试验有k次发生的概率率等．5．对离散型型随机变量的的方差应注意意：(1)DX表示随机变量量X对EX的平均偏离程程度，DX越大，表明平平均偏离程度度越大，说明明X的取值越分散散，反之DX越小，X的取值越集中中，在EX附近，统计中中常用来来描述ξ的分散程度；；(2)DX与EX一样也是一个个实数，由X的分布列唯一一确定．考纲解读1．理解分类类加法计数原原理和分步乘乘法计数原理理．2．会用分类类加法计数原原理或分步乘乘法计数原理理分析和解决决一些简单的的实际问题.考向预测1．对两个原原理的考查一一般只在选择择、填空题中中出现．2．注意分类类讨论思想和和补集思想的的应用．知识梳理1．分类加法计数数原理完成一件事，，可以有n类办法，在第第一类办法中中有m1种方法，在第第二类办法中中有m2种方法，………，在第n类办法中有mn种方法，完成成这件事共有有N＝种方法(也称称加法原理)．2．分步乘法计数数原理完成一件事，，需要经过n个步骤，缺一一不可，做第第一步有m1种方法，做第第二步有m2种方法，………，做第n步有mn种方法，那么么，完成这件件事共有N＝种方法(也称称乘法原理)．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3．分类加法法计数原理与与分步乘法计计数原理，都都涉及的不同方法的的种数，它们们的区别在于于：分类加法法计算原理与与有关，，各种种方法法，用其其中的的任一一种方方法都都可以以完成成这件件事；；分步步乘法法计算算原理理与有关，，各个个步骤骤，只有有各个个步骤骤都完完成了了，这这件事事才算算完成成．完成一一件事事情分类相互独独立分步相互依依存基础自自测1．(2009年全全国卷卷Ⅱ)甲、、乙两两人从从4门门课程程中各各选修修2门门，则则甲、、乙所所选的的课程程中恰恰有1门相相同的的选法法有()A．6种B．．12种C．24种种D．．30种[答案案]C[解析析]4门课课程，，有1门相相同，，则4种选选法，，不同同的课课程选选法，，甲有有3门门，乙乙就有有2门门，所所以共共有4×3×2＝24(种)．2．某银行行储蓄蓄卡的的密码码是一一个4位数数码，，某人人采千千位、、百位位上的的数字字之积积作为为十位位、个个位上上的数数字(如2816)的方方法设设计密密码，，当积积为一一位数数时，，十位位上数数字选选0，，千位位、百百位上上都能能取0.这这样设设计出出来的的密码码共有有()A．90个个B．．99个C．100个D．112个[答案案]C[解析析]由于千千位、、百位位确定定下来来后十十位、、个位位就随随之确确定，，则只只考虑虑千位位、百百位即即可，，千位位、百百位各各有10种种选择择，所所以有有10×10＝＝100(个)．[答案案]A[解析析]本题主主要考考查分分步计计数原原理知知识.1名名同学学有5种选选择，，则6名同同学共共有56种选择择．4．(2011·哈哈尔滨滨模拟拟)有有A、B两种类类型的的车床床各一一台，，现现有甲甲、乙乙、丙丙三名名工人人，其其中甲甲、乙乙都会会操作作两种种车床床，丙丙只会会操作作A种车床床，先先从三三名工工人中中选2名分分别去去操作作以上上车床床，则则不同同的选选派方方法有有()A．．6种种B．．5种种C．．4种种D．．3种种[答答案案]C[解解析析]若选选甲甲、、乙乙2人人，，则则包包括括甲甲操操作作A车床床，，乙乙操操作作B车床床或或甲甲操操作作B车床床，，乙乙操操作作A车床床，，共共有有2种种选选派派方方法法；；若若选选甲甲、、丙丙2人人，，则则只只有有甲甲操操作作B车床床，，丙丙操操作作A车床床这这1种种选选派派方方法法；；若若选选乙乙、、丙丙2人人，，则则只只有有乙乙操操作作B车床床，，丙丙操操作作A车床床这这1种种选选派派方方法法．．∴共有有2＋＋1＋＋1＝＝4(种种)不不同同的的选选派派方方法法．．5．古古代代““五五行行””学学认认为为：：““物物质质分分金金、、木木、、土土、、水水、、火火五五种种属属性性，，金金克克木木，，木木克克土土，，土土克克水水，，水水克克火火，，火火克克金金．．””将将五五种种不不同同属属性性的的物物质质任任意意排排成成一一列列，，但但排排列列中中属属性性相相克克的的两两种种物物质质不不相相邻邻，，则则这这样样的的排排列列方方法法有有________种种(结结果果用用数数字字表表示示)．．[答答案案]10[解解析析]把“金、、木木、、土土、、水水、、火火”用“1,2,3,4,5”代替替：：以以“1”开头头的的排排法法只只有有“1,3,5,2,4”或“1,4,2,5,3”两种种，，同同理理以以其其他他数数开开头头的的排排法法都都是是2种种，，所所以以共共有有2×5＝＝10(种种)．．6．甲甲、、乙乙两两个个自自然然数数的的最最大大公公约约数数为为60，，则则甲甲、、乙乙两两个个数数的的公公约约数数有有________个个．．[答答案案]12[解解析析]两数数的的公公约约数数一一定定是是最最大大公公约约数数60的的约约数数，，∵60＝＝22×3×5，，故故得得到到甲甲、、乙乙两两数数的的一一个个公公约约数数需需分分三三步步．．第一一步步，，确确定定有有几几个个2，，共共3种种方方法法；；第第二二步步，，确确定定有有几几个个3，，共共2种种方方法法；；第第三三步步，，确确定定有有几几个个5，，共共2种种方方法法，，当当2,3,5都都不不取取时时，，公公约约数数为为1，，故故共共有有公公约约数数3×2×2＝12个．7．从{－－3，－－2，－－1,0,1,2,3}中任任取3个个不同的的数作为为抛物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的的系数．．如果抛抛物线过过原点，，且顶点点在第一一象限，，则这样样的抛物物线共有有多少条条？[解析]由题意得得c＝0，a<0，b>0，分分三步：：第一步：：a＝－3，，－2，，－1；；第二步：：b＝1,2,3；；第三步：：c＝0，故由分步步计数原原理知抛抛物线的的条数N＝3×3×1＝9(条)．．[例1]三边边长均为为整数，，且最大大边长为为11的的三角形形的个数数是多少少？[分析]根据题目目中的条条件，列列出另两两边满足足的关系系式，然然后用列列举法逐逐一求出出来，再再用分类类加法计计数原理理求解．．[解析]设较小的的两边长长为x，y，不妨设设x≤y，则当x＝1时，y＝11；当x＝2时，y＝10,11；当x＝3时，y＝9,10,11；当x＝4时，y＝8,9,10,11；当x＝5时，y＝7,8,9,10,11；当x＝6时，y＝6,7,8,9,10,11；当x＝7时，y＝7,8,9,10,11；……当x＝11时，y＝11.所以不同三角角形的个数为为1＋2＋3＋4＋5＋＋6＋5＋4＋3＋2＋＋1＝36.[点评]应用分类加法法计数原理时时，首先要根根据问题的特特点，确定好好分类的标准准．分类时应应满足：完成成一件事的任任何一种方法法，必属于某某一类且仅属属于某一类．．(1)将4个个颜色互不相相同的球全部部放入编号为为1和2的两两个盒子里，，使得放入每每个盒子里球球的个数不小小于该盒子的的编号，则不不同的放球方方法有()A．10种B．20种种C．36种D．．52种[答案]A[解析]分为二类：①1号盒子放入入1个球，2号盒子放入入3个球，有有C41＝4种放球方方法；②1号盒子放入入2个球，2号盒子放入入2个球，有有C42＝6种放球方方法．∴共有C41＋C42＝10种不同同的放球方法法．(2)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述述条件的一对对有序整数对对(x，y)作为一个点点的坐标，则则这样的点的的个数是()A．9B．14C．15D．21[答案]B[解析]∵P⊆①当x＝2时，y≠1,2，∴y有7种选法；②当x＝y时，y≠1,2，∴y也有7种选法．∴共有满足条件的点7＋7＝14个.[例2]将将3种作物种种植在如图所所示的5块试试验田里，每每块种植一种种作物且相邻邻的试验田不不能种植同一一种作物，不不同的种植方方法共有多少少种？[分析]3种作物种在在5块试验田田里，也就是是5块试验田田分别要种上上作物，可分分5份，从左左到右一块一一块的种，即即用分步乘法法计数原理求求解．[解析]设由左到右五五块田中要种种a，b，c3种作物，不不妨先设第一一块种a，则第二块种种b，c，有两种选法法．同理，如如果第二块种种b，则第三块可可种a和c，也有两种选选法，由分步步乘法计数原原理共有1×2×2×2×2＝16.其其中要去掉ababa和acaca两种方法．故a种作物种在第第一块田中时时有16－2＝14种种种法．同理b或c也可种在第一一块田中，故故共有3×(2×2×2×2－2)＝3×(16－2)＝42种．．[点评]①本题完成种种五块地，要要分五步完成成，故应用分分步乘法计数数原理．②解决问题时，，应理清思路路，按事情发发生的过程或或事情解决的的过程合理分分步.(1)定义集集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为为()A.34B．43C.12D．以以上都不对(2)使集合合A＝{－1,0,1}，B＝{2,3,4,5,6}，映射f：A→B，使得对任意意x∈A，都有x＋f(x)＋xf(x)是奇数，这这样的映射f的个数是()A.12B．50C.15D．55(3)将4个个不同的小球球放入3个不不同的盒子，，其中每个盒盒子都不空的的放法共有()A.34种B．43种C.18种D．．36种(4)5位同同学报名参加加两个课外活活动小组，每每位同学限报报其中的一个个小组，则不不同的报名方方法共有()A.10种B．．20种C.25种D．．32种[答案](1)C(2)B(3)D(4)D[解析](1)显然然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，，确定A*B中的元素是是由A中取一个元元素来确定定x，B中取一个元元素来确定(2)∵A中任一元素在B中有惟一元素和它对应，由x＋f(x)＋xf(x)＝(x＋1)(f(x)＋1)－1知，x为奇数时都满足，x为偶数时，必须f(x)为奇数，∴当x＝－1或1时，f(x)可取B中任一元素，各有5种；当x＝0时，f(x)只能取3或5，有2种．根据分步乘法计数原理，共有5×2×5＝50个映射．故选B.(3)4个个不同的小小球放入3个不同的的盒子，其其中每个盒盒子都不空空，则必有有一个盒子子放入2个个球．设4个球的编编号分别为为1,2,3,4，，则其中2个球放在在一个盒子子里的情况况有：1、、2,1、、3,1、、4,2、、3,2、、4,3、、4，计6种情况．．把2个球球放在一个个盒子里的的情况当作作1个球和和另外2(4)因为每人均有两种选择方法，所以不同的报名方法有25＝32种.[例3]现现有高三三四个班学学生34人人，其中一一、二、三三、四班各各7人、8人、9人人、10人人，他们自自愿组成数数学课外小小组．(1)选其其中一人为为负责人，，有多少种种不同的选选法？(2)每班班选一名组组长，有多多少种不同同的选法？？(3)推选选二人作中中心发言，，这二人需需来自不同同的班级，，有多少种种不同的选选法？[分析]主要考查两两个计数原原理的综合合应用，先先考虑分类类再考虑分分步．[解析](1)分四四类：第一一类，从一一班学生中中选1人，，有7种选选法；第二二类，从二二班学生中中选1人，，有8种选选法；第三三类，从三三班学生中中选1人，，有9种选选法；第四四类，从四四班学生中中选1人，，有10种种选法．所所以，共有有不同的选选法N＝7＋8＋＋9＋10＝34(种)．(2)分四四步，第一一、二、三三、四步分分别从一、、二、三、、四班学生生中选一人人任组长，，所以共有有不同的选选法N＝7×8×9×10＝5040(种种)．(3)分六六类，每类类又分两步步，从一、、二班学生生中各选1人，有7×8种不不同的选法法；从一、、三班学生生中各选1人，有[点评]

在解决实际应用问题时，两个原理并不是孤立的，首先要弄清楚完成的是什么事，其次必须清楚是分类完成，还是分步完成，需认真审题，明确条件与问题.(1)将一一个四棱锥锥的每一个个顶点染上上一种颜色色，并使同同一条棱上上的两端点点异色，如如果只有5种颜色可可供使用，，求不同的的染色方法法总数．[分析]可分两大步步进行，先先将四棱锥锥一侧面三三顶点染色色，然后再再分类考虑虑另外两顶顶点的染色色数，用乘乘法原理即即可得出结结论．[解析]如图所示，，由题设，，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染颜色互互不相同，，它们共有有5×4×3＝60(种)染色色方法．当S、