【高三理科数学第一轮复习】第十章-第3节-变量间的相关关系与统计案例

第3节变量间的相关关系与统计案例最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.知

识

梳

理1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：___________；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从___________到___________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从___________到___________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在___________附近，称两个变量具有线性相关关系.散点图左下角右上角左上角右下角一条直线2.线性回归方程距离的平方和斜率3.回归分析相关关系正相关负相关越强r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于______时，认为两个变量有很强的线性相关性.0.754.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量__________”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为

y1y2总计x1ab__________x2cdc＋d总计a＋c__________a＋b＋c＋d则随机变量K2＝_______________________，其中n＝____________为样本容量.有关系a＋bb＋da＋b＋c＋d[微点提醒]基

础

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(

)(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.(

)(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.(

)答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2.(选修2－3P91探究改编)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(

) A.回归分析

B.均值与方差 C.独立性检验

D.概率

解析

“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.

答案

C3.(选修2－3P85讲解改编)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(

) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25

解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.

答案

A4.(2019·焦作模拟)已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56答案C5.(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是(

)A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.答案D6.(2019·丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”(

)A.99.9% B.99%

C.1% D.0.1%解析因为6.635<6.705<10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C.答案CP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828考点一相关关系的判断【例1】(1)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是(

)A.①②

B.①④

C.③④

D.②③(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁解析(1)由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.答案(1)C

(2)D【训练1】(1)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(

) A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.答案(1)C

(2)①②考点二线性回归方程及应用【例2】

(2018·日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.【训练2】

(2018·全国Ⅱ卷)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.考点三独立性检验【例3】

(2019·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数112711731根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.

空气质量优、良空气质量污染总计限行前

限行后

总计

参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A1，A2，A3，A4，空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B1，B2，从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个，记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A所包含的