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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.函数的一个零点在区间内,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.3.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()A. B. C. D.4.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”,该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台,塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比,第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”,若两展望台间高度差为100米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米5.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数,要求数字4不出现在首位和末位,数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是()A.48 B.60 C.72 D.1206.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B.4C. D.57.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.8.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.9.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或10.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.11.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()A. B.0 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为_____.14.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为________.15.如图所示,边长为1的正三角形中,点,分别在线段,上,将沿线段进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点在线段上,则线段的最小值为_______.16.函数的定义域是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知实数x,y,z满足,证明:.18.(12分)已知抛物线,直线与交于,两点,且.(1)求的值;(2)如图,过原点的直线与抛物线交于点,与直线交于点,过点作轴的垂线交抛物线于点,证明:直线过定点.19.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.20.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.(1)求证:平面平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.21.(12分)数列的前项和为,且.数列满足,其前项和为.(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.2.C【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.3.A【解析】
画出函数的图像,函数对称轴方程为,由图可得与关于对称,即得解.【详解】函数的图像如图,对称轴方程为,,又,由图可得与关于对称,故选:A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.4.B【解析】
根据题意,画出几何关系,结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离,进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为米,塔的实际高度为米,几何关系如下图所示:由题意可得,解得;且满足,故解得塔高米,即塔高约为480米.故选:B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用,属于基础题.5.A【解析】
对数字分类讨论,结合数字中有且仅有两个数字相邻,利用分类计数原理,即可得到结论【详解】数字出现在第位时,数字中相邻的数字出现在第位或者位,共有个数字出现在第位时,同理也有个数字出现在第位时,数字中相邻的数字出现在第位或者位,共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列,组合及简单计数问题,解题的关键是对数字分类讨论,属于基础题。6.B【解析】
还原几何体的直观图,可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图,三棱锥的直观图为,体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.7.B【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可.【详解】解:全集,集合,,则,故选:.【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题.8.C【解析】
画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.9.D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.10.C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.11.B【解析】
复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.D【解析】
运用辅助角公式,化简函数的解析式,由对称轴的方程,求得的值,得出函数的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.【详解】由题意,函数为辅助角,由于函数的对称轴的方程为,且,即,解得,所以,又由,所以函数必须取得最大值和最小值,所以可设,,所以,当时,的最小值,故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解:复数为纯虚数,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.14.3【解析】
根据圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.15.【解析】
设,,在中利用正弦定理得出关于的函数,从而可得的最小值.【详解】解:设,,则,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴当即时,取得最小值.故答案为.【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用,属中档题.16.【解析】由,得,所以,所以原函数定义域为,故答案为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.见解析【解析】
已知条件,需要证明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,发现,则可以用柯西不等式.【详解】,.由柯西不等式得,...【点睛】本题考查柯西不等式的应用,属于基础题.18.(1);(2)见解析【解析】
(1)联立直线和抛物线,消去可得,求出,,再代入弦长公式计算即可.(2)由(1)可得,设,计算直线的方程为,代入求出,即可求出,再代入抛物线方程,求出,最后计算直线的斜率,求出直线的方程,化简可得到恒过的定点.【详解】(1)由,消去可得,设,,则,.,解得或(舍去),.(2)证明:由(1)可得,设,所以直线的方程为,当时,,则,代入抛物线方程,可得,,所以直线的斜率,直线的方程为,整理可得,故直线过定点.【点睛】本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题,需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题,需有较强的计算能力,属于难题.19.(1)(2)见解析【解析】
(1)设数列的公差为,由,得到,再结合题干所给数据得到公差,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;【详解】解:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,放缩法证明数列不等式,属于中档题.20.(1)证明见解析(2)(3)【解析】
(1)取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证;(2)以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解;(3)设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】(1)证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.(2)以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.(3)设,则有,得,设,那么,所以,所以.因为,,所以.又因为,所以,,设平面的法向量为,则,即,,可得,即因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.21.(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,两式相减可推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,运用数列的分组求和和裂项相消求和,化简可得.【详解】(1)当时,,所以;当时,,得,即,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,.;(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,.,.所以.【点睛】本题考查数列的递推式的运用,注意结合等比数列的定义和通项公式,考查数列的求和方法:分组求和法和裂项相消求和,
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