【课件】1.4.2 充要条件 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册_第1页
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人教A版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.4.2充要条件复习巩固充分条件、必要条件的概念.上节课我们主要学习了什么知识点

问题思考下列“若P,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根,则(4)若是空集,则A与B均是空集。命题(1)、(4)与它们的逆命题都是真命题问题思考(1)p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,q:这两个三角形全等;(4)p:若是空集,q:A与B均是空集。思考?对于(1)(4)p和q的推导关系是什么?

此时我们说命题(1)、(4)中,p与q互为充要条件.定义一般地,如果既有pq

,又有qp

就记作pq.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q)

即:如果pq,那么p与q互为充要条件.总结(1)若pq,但qp,则称p是q的(2)若pq,但qp,则称p是q的;(3)若pq,且qp,则称p是q的充分不必要条件;必要不充分条件既不充分也不必要条件.例3下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分;(2)P:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例;(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解:(1)因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形,所以,所以p不是q的充要条件。(2)因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理“若q,则p”是相似三角形的判定定理,所以它们均是真命题,即,所以P是q的充要条件。例3下列各题中,哪些p是q的充要条件?(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解:(3)因为xy>0时,x>0,y>0不一定成立,所以,所以p不是q的充要条件。(4)因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题,即所以P是q的充要条件。探究通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗?四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行

都是它的充要条件。例4:已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.分析:设p:d=r,q:

l与⊙O相切.证明:如图所示.(1)充分性(pq):作OP⊥l于点P,则OP=d,若d=r,则点P在⊙O上,在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中,OQ>OP=r.所以,除点P外直线l上的点都在⊙O

的外部,即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切.PQlO(2)必要性():若直线l与相切,不妨设切点为P,则,因此,d=OP=r.由(1

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