【课件】函数概念教学认识及拓展-以高中函数概念教学为例

函数概念教学认识及拓展——以高中函数概念教学为例概念即是教学的“根”也是教学的“核”概念即是教学的“根”也是教学的“核”数学学习的基本任务是:掌握数学基础知识发展基本技能拓展基本经验丰富基本思想只有真正理解与掌握了基本概念，才有可能学好数学用好数学。从这个意义上说数学概念教学是“根”，教学的是重中之重。概念即是教学的“根”也是教学的“核”基础知识基本技能基本活动经验基本思想是一种理性的、形式化的结果性知识是一种感性的、情景的过程性知识是在基本知识学习、基本技能形成以及基本经验提炼过程中抽象出来的从知识的角度来看概念即是教学的“根”也是教学的“核”形形色色的数学基本概念伴随着人的成长过程而不断由内而外拓展、发散、丰富，同时也为人的成长“飞跃”源源不断地提供“养分”，因此数学基本概念是“核”。函数概念的演变函数概念的演变

函数概念的演变1718年，约翰•贝努利(JohannBernoulli)给出了解析的函数概念：“函数是由任意变数和常数的任意形式所构成的量”，这是函数概念的第一次扩张。函数概念的演变而后约翰•贝努利的学生欧拉(LeonardEuler)把函数定义又推进了一步，把凡是可以给出“解析的表示的”，通称之为函数。“由在xy平面上任意画出的曲线所确定了的x，y之间的关系。”函数概念的演变18世纪70年代，欧拉又给出了函数的定义：“如果某些变量，以这样的一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称之为后面变量的函数。”函数概念的演变函数概念的第二次扩张，是从几何方面的考虑而做出的。这一次的扩张是由积分上的需要引起的，人们把只可用图形给出的关系也称之为函数。这是对上述“解析的函数”概念的一个扩充，称为“几何的函数”。函数概念的演变1821年，法国数学家柯西(Cauchy)对函数概念进行了第三次扩张，给出的函数定义为：“当某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数之值，其它变数之值亦可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’。”函数概念的演变函数概念的第四次扩张是黎曼(B.Riemam)一一狄里克雷(P.G.Dirichlet)的函数定义：“对于x的每一个值，如果有完全确定的y值与之对应，不论所建立对应方式如何，y都叫做x的函数”函数概念的演变到了19世纪70年代，在德国数学家康托尔(G.Cantor)的集合论的基础上，所谓“集合函数”诞生了，函数概念第五次扩张为：“对于以集合为元素的集合P的每一个元素A，如果在另一个以集合为元素的集合Q中有完全确定的元素B与之对应，那么集合Q就叫做集合P的集合函数。”函数概念的演变

函数概念的演变清代数学家李善兰(1811年～1882年)最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力(1815年～1887年)合译的《代数学》一书中，将“function”一词译成“函数”。函数概念的演变函数概念的发展历史我们可以看到，函数概念经历了从直观到抽象，从含糊到精确的过程，这与学生认识函数概念的过程是基本一致的。函数概念是中学数学的核心概念函数概念是中学数学的核心概念核心概念位居数学概念体系的中心点，自我生长能力强，可以生成一个‘概念群’。因此，核心概念的组织和呈现，不仅要考虑此概念的发生和形成，还要从整体入手，考虑如何以此概念为中心，形成概念网络的体系和节点”。函数概念是中学数学的核心概念在现代数学中，函数概念及其反映出的数学思想方法几乎渗透到数学的各个领域。运用函数的思想方法可以构筑、描述客观世界的重要数学模型，因此，函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中有着广泛的应用。函数概念是中学数学的核心概念数学是描述、探索自然和社会规律的科学语言和研究工具，数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，己成为公民所必须具备的一种基本素质。函数概念是中学数学的核心概念把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习；要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型；要求收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用；要求利用信息技术探索和了解指数函数、对数函数的变化规律和性质；要求将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识和理解等。函数概念是中学数学的核心概念函数概念在各国教材中的发展主线基本相同定义性质基本初等函数函数概念是中学数学的核心概念法国在初中一年级虽然没有给出函数的定义，但是己经要求学生要用“函数”的说法，高中教学对函数部分提出了具体的教学目的：使学生对于用函数描写连续现象的方法有所熟悉；对大纲中所规定的常用函数有较好掌握。函数概念是中学数学的核心概念英国的A水平SMP教材第一册就有数学模型函数、求导函数，第二册有多项式函数第三册是对数函数和指数函数

函数内容贯穿于整个数学教学内容。函数概念是中学数学的核心概念德国对数学教育极为重视8年级就引入函数概念，学习一次函数9年级学习二次函数10年级学习幂函数、指数函数和对数函数11年级学习实函数。自从有了学校教育，数学教育就扮演了一个中心的角色。函数概念是中学数学的核心概念美国《中小学数学课程标准》也对于函数有着这样的要求：理解各种类型的模式和函数关系；应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化。函数概念是中学数学的核心概念我国则是采取“分层递进”“螺旋上升”的策略，以注重“双基”转变到注重“四基”，以“数”“形”双助推动“双向思维”。可见，无论是国内还是国际，无论是发达国家还是发展中国家，都把函数作为中学数学的主角，函数是高中数学的核心内容。函数概念是中学数学概念理解的一个难点函数概念是中学数学概念理解的一个难点学生在学习函数中存在的主要问题不能灵活地运用函数的思想方法解决相关问题，如方程、不等式、数列等；不愿意运用函数的知识和方法解决实际的应用问题，不能用变量的观点看待客观世界中量与量之间的普遍联系，不能正确地用恰当的函数模型反映数量之间的关系。函数概念是中学数学概念理解的一个难点一方面函数概念是抽象的数学概念，是学生在数学学习过程中接触的第一个非常量意义的概念。学生理解函数不仅要理解常量、变量的概念，而且要理解“变化过程”和变量之间的关系。同时函数表示方法的多样性，要求学生在符号语言、图形语言和文字语言之间进行灵活地转换，使抽象思维和形象思维结合起来，这对学生而言，是一种思维上的挑战。函数概念是中学数学概念理解的一个难点另一方面中学阶段，学生的思维发展水平从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，刚进入高中的学生，他们的思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象，还无法上升到辨证的逻辑思维阶段如何进行函数概念教学如何进行函数概念教学2001年7月中华人民共和国教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》提出高中数学课程教学的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。如何进行函数概念教学老师们感到很无奈，使得在教学过程中的操作过于形式化。学生们更是无助和困惑，有的甚至产生了对函数知识学习的畏惧感。函数模型很抽象，对于抽象事物的学习和理解应是从感性认识出发，再到理性认识，从实践到理论、理论到实践的过程，不能一跃而就。如何进行函数概念教学函数的教学目标是理解和掌握函数基本知识，形成函数的思想方法，最终提高高中学生分析解决实际生活中问题的能力。存在一定的误区，觉得数学的学习一般都是解题计算等，认为概念是死的并不重要，学习时一带而过，而解题方法是活的，可极好的锻练自己的抽象思维和逻辑思维能力，应重点掌握。如何进行函数概念教学函数的教学目标是理解和掌握函数基本知识，形成函数的思想方法，最终提高高中学生分析解决实际生活中问题的能力。形式化是数学的显著特点，学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言以及用这样的语言去表达解释、解决各种问题。如何进行函数概念教学函数的教学目标是理解和掌握函数基本知识，形成函数的思想方法，最终提高高中学生分析解决实际生活中问题的能力。概念是思维的基本形式之一，它反映事物的本质的特征。把觉察到的事物的共性加以抽象、概括，就形成了我们所说的概念。如何进行函数概念教学从现在高中的现实教学情况来看教师的实际教学措施不得力，我了解过一些相对好的一级达标学校的学生，如厦门、泉州，莆田、漳州、福州等，他们说课堂大多是老师讲解一大堆题目，有的很难。学生利用课外时间自学课本知识；这样他们对知识原理在实际生活的应用意识就别想了，教师给予的引导是如何记忆解题的技巧，至于这个技巧能折射出来什么思想，他们很少去思考。还有一些学校的学生，他们学习基础相对比较差一些，通常教师在具体教学过中，虽然都能以问题为中心，形成一个问题串来逐步引导学生的逻辑思维。但是，这并没有充分发挥学生理性思维来建够数学模型。仅仅感悟和理解问题，这不能提高学生的认知水平。从具体实例出发抽象函数的本质从具体实例出发抽象函数的本质(1)感受阶段学生的学习是一个主动建构的过程，学生主动地建立新知识和旧知识联系是学生习得概念的必要条件。在函数教学时，为了让学生感受事物的共性，教师可创设合适的问题情境，激活学生初中已有的函数知识或其它学科相差的知识背景。从具体实例出发抽象函数的本质实例1我们乘坐动车组列车，会发现某段时间内车箱内指示灯显示，动车速度198千米/小时，动车外温度为33℃等，速度y与时间t的关系？从具体实例出发抽象函数的本质实例2复杂一点的是分段函数:比如说水费，一个家庭一个月用水量6吨以下(包括6吨)，每吨1.2元，超过6吨到10吨(包括10吨)的部分，吨1.5元，超过10吨的部分每吨1.8元等等，那么用水量x与所付水费y的关系?从具体实例出发抽象函数的本质实例3一名学生在安静状态下测量自己每分钟心跳次数，再在剧烈运动4分钟后测量自己每分钟心跳次数，每隔一分钟再测一次直到第五分钟，得到如下表格:在上述过程中，那些量在变，谁随谁而变?运动结束后，心跳次数总趋势是什么?从具体实例出发抽象函数的本质(2)抽象阶段活动程序首先开始“活动”只是把函数看作一个简单的表达式或公式，这些式子中含有可以赋值和运算的字母然后学生把函数看作可以输入输出的机器，于是知识就处于第二状态“程序”。从具体实例出发抽象函数的本质这是一个循环的过程活动程序当学生遇到一个更复杂的函数表达式时，学生就会又回到“活动”阶段，进而进一步完善函数“程序”。当学生经过多次“活动”熟悉后，就把它内化成“程序”储存在脑中。从具体实例出发抽象函数的本质(3)强化阶段在这一阶段，为了让学生避免在没有准确掌握函数概念本质时盲目的应用，教师可以让学生再举一些函数的正例，教师可以举一些与日常生活息息相关或者和其它科学相关的正例。加深学生对函数概念的理解，强化函数的本质属性是“对应”。从具体实例出发抽象函数的本质通过从典型、丰富的具体实例出发，激发与学生原有的认知结构的冲突，引起学生的积极思维，加强知识间的联系，抽象概括出函数的本质。教师帮助学生构建活动，通过多次活动让学生亲身体会、感受直观背景和函数概念的关系，引导学生对活动进行思考，内化为程序，从而抽象出函数的特性，认识函数的本质。通过对函数形式化和符号化的认识，能对函数进行整体认识，在学生头脑中建构为一个具体的对象。从不同角度认识函数概念

注重概念教学的系统化从不同角度认识函数概念

注重概念教学的系统化在概念的系统中学习概念，使学生有机会从不同角度认识概念，建立概念的‘多元联系表示’，这不仅便于发挥知识的结构功能，使概念具有‘生长活力’有益于知识的获得、保持和应用，而且对发展学生的概括能力有特殊意义。从不同角度认识函数概念

注重概念教学的系统化只有从各个角度认识函数，才能对函数达到完整深刻的理解。函数的图像、解析式和表格表示是学生理解和认识函数的重要方法和手段。既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地绘制图形、观察图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换等从不同角度认识函数概念

注重概念教学的系统化例如在函数单调性一节的教学中，先从图像上来认识，然后再区分单调函数与函数单调性的区别。再到单调函数的求证。让学生从定义中自主理出证明一个函数是单调减或单调增函数的方法。重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识变式就是变化对象的角度、背景、情形、层次而使其面目不一，突出对象的本质特征变式教学可以充分调动学生积极的思维，让学生主动参与教学的过程，有助于学生理解对象的本质，有助于知识的正迁移，优化学生的认知结构和知识网络，培养学生分析和解决问题的能力，减轻学生的负担，提高课堂效率。重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入数学概念它反映了一类事物的本质属性，具有相对独立性。重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(l)注重函数概念的引入重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识(2)函数概念辨析变式在给出数学概念的定义后，针对概念的本质属性(内涵)与分本质属性(外延)，我们可设计一些辨析型问题，通过对这些问题的讨论与解决，从而让学生明确概念的内涵，深化理解概念。重视函数概念的引入、变式

促进对函数本质的认识可以做下面练习

重视函数概念教学及拓展，提升思维空间重视函数概念教学及拓展，提升思维空间在以上的方法下，学生通过概念同化与概念形成已经理解和掌握函数的相关概念。教师在此基础上，通过精心设计的练习，巩固应用概念。教材中针对概念的例题、习题和练习有很多，教师可以变更问题的条件