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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人2.已知a,b∈R,,则()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a3.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,,数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:(其中).根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A. B. C. D.4.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.5.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()A. B. C. D.6.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.987.若集合,,则()A. B. C. D.8.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.19.已知复数满足,则()A. B.2 C.4 D.310.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A. B.C. D.11.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,,则球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量=(-4,3),=(6,m),且,则m=__________.14.过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.15.实数,满足,如果目标函数的最小值为,则的最小值为_______.16.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)若正数满足,求的最小值.18.(12分)已知抛物线:()的焦点到点的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,点、分别在第一和第二象限内,求的面积.19.(12分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:(1)平面;(2)平面平面.20.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)荐椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆分别交于,若直线、、的斜率成等差数列,请问的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.22.(10分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.2.C【解析】
两复数相等,实部与虚部对应相等.【详解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故选:C.【点睛】本题考查复数的概念,属于基础题.3.A【解析】
由已知,设.可得.于是可得,进而得出结论.【详解】解:依题意,设.则.,.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为.则,.故选:A.【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为05.C【解析】
由,和,可求得,从而求得和,再验证选项.【详解】因为,,所以解得,所以,所以,,,故选:C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,还考查运算求解能力,属于中档题.6.C【解析】
由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【点睛】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.7.A【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定义求解即可.【详解】解:由集合,解得,则故选:.【点睛】本题考查了并集及其运算,分式不等式的解法,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.8.C【解析】
每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.9.A【解析】
由复数除法求出,再由模的定义计算出模.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.10.B【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体,分别求解两个部分的体积,加和得到结果.【详解】由三视图还原可知,原几何体下半部分为半个圆柱,上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为:四棱锥体积为:原几何体体积为:本题正确选项:【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题,关键在于能够准确还原几何体,从而分别求解各部分的体积.11.D【解析】
利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.12.D【解析】
由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以,在直角中,因为,所以,设外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.8.【解析】
利用转化得到加以计算,得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.14.【解析】
根据与已知直线垂直关系,设出所求直线方程,将已知圆圆心坐标代入,即可求解.【详解】圆心为,所求直线与直线垂直,设为,圆心代入,可得,所以所求的直线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查圆的方程、直线方程求法,注意直线垂直关系的灵活应用,属于基础题.15.【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的最小值为,确定出的值,进而确定出C点坐标,结合目标函数几何意义,从而求得结果.【详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内,由得可知,直线的截距最大时,取得最小值,此时直线为,作出直线,交于A点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线也过A点,由,得,代入,得,所以点C的坐标为.等价于点与原点连线的斜率,所以当点为点C时,取得最小值,最小值为,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在解题的过程中,注意正确画出约束条件对应的可行域,根据最值求出参数,结合分式型目标函数的意义求得最优解,属于中档题目.16.【解析】
只要算出直三棱柱的棱长即可,在中,利用即可得到关于x的方程,解方程即可解决.【详解】由已知,,解得,如图所示,设底面等边三角形中心为,直三棱柱的棱长为x,则,,故,即,解得,故三棱柱的侧面积为.故答案为:.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题,考查学生的空间想象能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解析】试题分析:由柯西不等式得,所以试题解析:因为均为正数,且,所以.于是由均值不等式可知,当且仅当时,上式等号成立.从而.故的最小值为.此时.考点:柯西不等式18.(1)(2)【解析】
(1)因为,可得,即可求得答案;(2)分别设、的斜率为和,切点,,可得过点的抛物线的切线方程为:,联立直线方程和抛物线方程,得到关于一元二次方程,根据,求得,,进而求得切点,坐标,根据两点间距离公式求得,根据点到直线距离公式求得点到切线的距离,进而求得的面积.【详解】(1),,解得,抛物线的方程为.(2)由题意可知,、的斜率都存在,分别设为和,切点,,过点的抛物线的切线:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切线的方程为,点到切线的距离为,,即的面积为.【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题,解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式19.(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)连结根据中位线的性质证明即可.(2)证明,再证明平面即可.【详解】解:证明:连结是菱形对角线的交点,为的中点,是棱的中点,平面平面平面解:在菱形中,且为的中点,,,平面平面,平面平面.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.20.(1)存在;详见解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性质定理可得,为上靠近点的三等分点,中点,证明平面平面即得;(2)过作交于,可得两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,求出长,写出各点坐标,用向量法求二面角.【详解】解:(1)当为上靠近点的三等分点时,满足面.证明如下,取中点,连结.即易得所以面面,即面.(2)过作交于面,两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图,设面法向量,则,即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题,考查用空间向量法求二面角.线面平行问题可通过面面平行解决,一定要掌握:立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的.求空间角一般是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.21.(1);(2)是,【解析】
(1)根据及可得,再将点代入椭圆的方程与联立解出,即可求出椭圆的方程;(2)可设所在直线的方程为,,,,将直线的方程与椭圆的方程联立,用根与系数的关系求出,然后将直线、、的斜率、、分别用表示,利用可求出,从而可确定点恒在一条直线上,结合图形即可求出的面积.【详解】(1)因为椭圆的离心率为,所以,即,又,所以,①因为点在椭圆上,所以,②由①②解得,所以椭圆C的方程为.(1)可知,,可设所在直线的方程为,由,得,设,,,则,,设直线、、的斜率分别为、、,因为三点共线,所以,即,所以,又,因为直线、、的斜率成等差数列,所以,即,化简得,即点恒在一条直线上,又因为直线方程为,且,所以是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题,属于中档题.22.(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是.【解析】
(1)求得,由题意可知和是函数的两个
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