初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数：例1．以下列图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1题图①sinA()＝______，sinB()＝______；斜边斜边②cosA()＝______，cosB()＝______；斜边斜边③tanA()＝______，tanBB的对边＝______．()A的邻边例2.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例题：种类一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中，C90,tanA3求AC、AB和cosB．,BC12,42．已知：如图，⊙3O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，sinAOC4求：AB及OC的长．33．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，sinAOC5(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．4.已知A是锐角，sinA8，求cosA，tanA的值17对应训练：3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为5251D．2A．B．5C．525．在△ABC中，∠C=90°，sinA=3，那么tanA的值等于（）.5A．3B.4C.3D.45543种类二.利用角度转变求值：1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右边圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）1334A．B．C．D．2255yCAODxB第8题图3.如图，角的极点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA3cm2．，则这个菱形的面积=55.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为3，AC2，则2sinB的值是（）A．23343B．C．D．2436.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB8，BC10，AB=8,则tan∠EFC的值为()ADEＡ．3Ｂ．434BFC4Ｃ．Ｄ．3557.如图6，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D为AC上一点，若tanDBA1，则AD的长为( )5A．2B．2C．1D．228.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的均分线AD=163求∠B的度3数及边BC、AB的长.ACBD图6种类三.化斜三角形为直角三角形例1如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．1例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA3(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2种类四：利用网格构造直角三角形例1以下列图，△ABC的极点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．1B．5C．10D．2525105对应练习：1．如图，△ABC的极点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.CAB2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转获得AC'B'，则tanB'的值为11C.1A.B.D.14323．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值是（）5251AA．5B.5C.2D.2OB特别角的三角函数值锐角?

30°

45°

60°sin?cos?tan?当时，正弦和正切值随着角度的增大而例1．求以下各式的值．

余弦值随着角度的增大而1）.计算：

2cos30

2sin45

tan60

．2）计算：tan60sin2452cos30.计算：3－1+(2π－1)0－3tan30°－tan45°304．计算：12cos60sin453tan30．225．计算：tan45sin30；1cos60例2．求合适以下条件的锐角??．1(2)tan3(1)cos32(3)sin226cos(16)33(4)2（5）已知??为锐角，且tan(300)3，求tan的值（6）在ABC中，若12)20，，都是锐角，求的度(sinBABC22数.例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA<1，那么∠A的取值范围是2A.0<°A<30°B.30<°A＜60°C.60<°A<90°D.30<°A<90°2.已知A为锐角，且cosAsin300，则（）A.0<°A<60°B.30<°A<60°C.60<°A<90°D.30<°A<90°例4.三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA求此菱形的周长．

12132．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．3.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，tanB1，求：sin∠CAD、cos3∠CAD、tan∠CAD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB3，点D在BC边上，DC=AC5=6，求tan∠BAD的值．ABCD5.如图，△ABC中，∠A=30°，tanB3，AC43．求2AB的长.CAB解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系以下(以下列图)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：sinAcosB______；tanA1_____；tanB

cosAsinB1tanBtanA

_______；______．④直角三角形中成比率的线段(以下列图)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．种类一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，c352，求∠A、∠B，b；(2)已知：a23，b2，求∠、∠，；ABc2(3)已知：sinA，c6，求a、b；3(4)已知：tanB

3,b2

9,

求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积S123,求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．种类二：解直角三角形的实质应用仰角与俯角：例1．（2012?福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，若是此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同素来线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离DE32m，求点B到地面的垂直距离BC．例3如图，一风力发电装置直立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板丈量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB

C为1.7米，求这棵树的高度.

ADBE例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔挺的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．例5．（2012?泰安）如图，为丈量某物体AB的高度，在体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为

D点测得A点的仰角为30°，朝物60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米例6．（2012?益阳）超速行驶是惹起交通事故的主要原由之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，察看点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C地方用的时间为8秒，∠BAC=75．°（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车可否高出了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参照数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，千米/小时≈16.7米/秒）种类四.坡度与坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m种类五.方向角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮持续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，31.732)2．新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．方才完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立刻追往北纬11度22分、东经110度45分周边海域护渔，保护100多名中国渔民免受财富损失和人身损害．某国炮艇发现中国目前最初进的渔政船正在快速驰救中国渔船，立刻掉头走开．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．依据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往失事地址需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，6tan∠BDC=3．求BD的长；求AD的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=24，sinBAE355

，求CF的长．三角函数与圆：1．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右边圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）1B．334A．2C．D．255yCAODxB第8题图19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠CCDABO4(2)若AD=8，tanC=3

，求⊙O的半径。21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;4（2）若cosC,DE=9，求BF的长．5

EODFBC作业：1．已知sinA1，则锐角A的度数是2A．75B．60C．45D．302．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为A．5251D．2B．5C．52．在△中，∠°，sinA=3，那么tanA的值等于（）.3ABCC=905AA．343D.4B.C.55433，则锐角.BC4.若sin＝21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，则tanB的值是2B．3C．25213A．25D．1335．将∠α放置在正方形网格纸中，地址以下列图，则tanα的值是A．1B．2C．5D．25α2255.△ABC在正方形网格纸中的地址以下列图，则sin的值是33A.B.5444C.D.354．如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，B40o，则直角边BC的长是（）A．msin40oB．mcos40oC．mtan40oD．mtan40o1．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于（B）PA．3443B．C．D．α4355O第1题图MA6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，cosBOD3，则AB的长是5A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，若是cosA=4，那么tanA的值是535C．34A．B．4D．53311．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90，°若sinA=3，则cos∠BCD的值为．5CABD13.计算：2cos302sin45tan6013．计算2sin602cos453tan30tan45.13．计算：2sin60o4cos230o+sin45otan60o．14.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板丈量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为

C1.7米，求这棵树的高度.

ADBE15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=46，b=122.解这个直角三角形20.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的均分线，tanB=1，求CD的值．2BDCDAB19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,C求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=4，求⊙O的半径。D3ABO19．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30，荷塘另一端D处C、B在同一条直线上，已知AC32米，CD16米，求荷塘宽BD为多少米？（结果保留根号）18.如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A+∠B=90．1）求证：BC是⊙O的切线；2）若OA=6，BC=8，求BD的长．1）证明：2）解：

CAODB第18题图15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=1CD，sin∠CBD=2，23求AD的长和tanA的值．18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁地域的圆心位于

PB的延长线上，距离灯塔

200海里的

O处．已知圆形暗礁地域的半径为

50海里，进入圆形暗礁地域就有触礁的危险．请判断若海轮到达

B处可否有触礁的危险，并说明原由．22．已知，如图，在△ADC中，ADC90，以DC为直径作半圆eO，交边AC于点