【课件】4.4.3 不同函数增长的差异教学课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异

复习引入

思考：在前面，我们学习过的一次函数、指数函数、对数函数，这些函数在情况下的是增函数？

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题中的增长情况，选择合适的函数模型来刻画其变化规律。

下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数内增长方式的差异.知识探究

问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+∞)上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？列表xy=2xy=2x00.511.522.53...11.41422.82845.65780123456......描点，连线得图象1239876543212.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(1)两函数图象的交点是什么？(2)两图像的关系是什么？(3)总结两图像增长变化情况？

函数y=2x与y=2x有两个交点：(1,2)，(2,4)；

在区间[0,1)上，y=2x的图象位于y=2x上方；

在区间(1,2)上，y=2x的图象位于y=2x下方；

在区间(1,2)上，y=2x的图象位于y=2x下方。y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同。函数y=2x的增长速度不变，y=2x的增长速度是变化的。(4)当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(4)当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？

随着自变量x的取值越来越大，y=2x的图象几乎会与x轴垂直，函值快速增长，而y=2x的图象仍是匀速向上延伸，函数增长速度不变，这与y=2x的增长速度相比几乎微不足道.2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(5)考查2x与

2x的大小，你认为是否存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x?(6)类比上述能否推广到一般情况？

尽管在

x的一定范围内,2x<2x,但由于y=2x的增长最终会快于

y=2x的增长,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,恒有2x>2x.

函数

y=2x与

y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.

随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.结论一结论二

问题2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+∞)上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？列表/1.3041.4771.6021.6991.77810123456......描点，连线得图象6543211020304050602.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(1)根据图象分析两函数增长快慢？(2)你能根据解析式进行分析吗？lg10=1,lg100=2,lg1000=3，lg10000=4,...(3)类比上述能否推广到一般情况？结论三

问题3：

(1)画出一次函数y=2x，对数函数y=lgx和指数函数y=2x的图象，并比较它们的增长差异？

函数y=2x，y=lgx与y=2x在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

y=2x在(0,+∞)上增长速度不变，函数y=lgx与y=2x在(0,+∞)上的增长速度在变化.函数y=2x的增长速度越来越快，图象越来越陡，就像与x轴垂直一样；函数y=lgx的增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.(2)概括一次函数y=kx(k>0)

,对数函数y=logax(a>1)和指数函数y=bx(b>1)的增长差异.

一般地，一次函数y=kx(k>0)

,对数函数y=logax(a>1)和指数函数y=bx(b>1)

在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而指数函数y=bx(b>1)的增长速度越来越快；对数函数y=logax(a>1的增长速度越来越慢.

不论b值比k值小多少，在一定范围内，bx可能会小于kx，但由于y=bx的增长会快于y=kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有bx>kx.；不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于y=logax的增长会慢于y=kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有kx>logax.(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．

(1)直线上升:y=kx(k>0)的增长方式

增长速度不变，是一个固定的值；(2)对数增长：y=logax(a>1)的增长方式

增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样；(3)指数爆炸：y=ax(a>1)的增长方式

增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x轴垂直一样.例1.(1)随着x的不断增加，下列函数中增长速度最快的是(

)

A.y=2021x；B.y=x2021;C.y=log2021x;

D.y=2021x例析A(2)当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_______；B对应_______；C对应_______；D对应_______.

(4)(1)(3)(2)例2.已知函数

f(x)=2x和

g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和

B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.(1)由指数函数与幂函数的增长速度知C1对应函数

g(x)=x3,

C2对应函数

f(x)=2x.(2)由图象得

f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2)

当

x<x1时,2x>x3,即

f(x)>g(x);

当

x1<x<x2时,f(x)<g(x);

当

x>x2时,f(x)>g(x).∵

f(1)=2,g(1)=1,f(2)=4,g(2)=8∴由f(1)>g(1),f(2)<g(2)得

x1∈[1,2],即a=1.又∵f(9)=29=512,g(9)=93=729

f(10)=1024,g(10)=1000∴由f(9)<g(9),f(10)>g(10)得x2∈[9,10],即b=9.

综上可知,a=1,b=9.解：例3.某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.根据以往的经验，可选用二次函数模型y=f(x)(x∈N*)或指数函数模型y=g(x)(x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为136t,则试问选用哪一个作为模拟函数较好?

设

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则由题意得

同理,可设

g(x)=max+n(a>0且a≠1)∴f(x)=-5x2+35x+70.当x=4时,f(4)=-5×42+35×4+70=130g(4)=-80×0.54+140=135

由g(1)=100,g(2)=120,g(3)=130得

即g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量.∴

选用指数函数模型较好.解：1.三个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:则关于x呈指数型函数变化的变量是________

练习x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155y22.(1)(2)(3)分别是y=3x与y=5x在不同范围内的图象，估算出使3x>5x的x的取值范围(参考数据：30.27=1.35,32.17=10.85).

(教材P39练习第1,2,3,4题)4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（

）

3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个

公共点,求一次函数的解析式。

简析：课堂小结

1.在探究不同函数的增长方式的过程中主要的数学思想方法有哪些？一般与特殊的思想方法；数形结合的思想方法2.说说一次函数，指数函数，对数函数增长方式的差异？

y=ax(a>1)y=logbx(b>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的单调性单调递增增长速度越来越快越来越慢固定不变图象的变化

随x的增大逐渐变陡，几乎与x轴垂直

随x的增大逐渐变平，几乎与x轴平行

图象几乎呈一条直线匀速上升形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长结果

总存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logbx4.对于幂函数y=xα(α>0)的增长方式，你有什么看法？(1)幂函数y=xα(α>0)增长快慢与α的大小有关;

(2)幂函数y=xα(α>0)的增长速度介于指数函数和对数函数之间.

(1)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，