第3章 3.1 3.1.2 第1课时 函数的表示法

3.1.2第课时学习目标

函数的表示法函数的表示法核心素养1.掌握函数的三种表示方法析法图象法、列表法．(重点)2根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)函数的表示法

1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2函数解析式的求法培养运算素养.思考：任何一个函数都可以用解析法列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示不仅如此，图象法也不适用于所有∈Q，函数，如D(x＝∈RQ

列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函f()由下表给出，则f(3)等于)xf(x)

1≤x1

22

<x4A.1B2．3D．不存在C[∵当2<≤4时，(x＝3，∴(3)3.]ruize44442．二次函的图象的顶点为(0－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为()1A．＝－1C．y＝4－16

1B．＝1D．y＝－x2＋16B

[点(0－1)入四个选项可知，只有B确．]3．已知函＝f()的图象如图所示，则其定义域是______．[2,3[由图象可知f(x的定义域为[2,3]．]函数的三种表示方法【例1】

某商场新进了台彩电，每台售价000，试求售出台数x与收款数y间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[]

①列表法如下：台)元)台)元)

13618

26721

39824

412927

5151030②图象法：如图所示．③解析法：y＝3x，x∈，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关ruizexx系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的()ABD由下表给出函数＝f(，则f(f等于()

14

25

33

42

51A.1C．41)D()B

B．2D．5[(1)结合题意可知该生离校的距离先快速减少，又较慢减少最后到0故选D.由题意可知，f＝4，(4)＝2，∴f((1))＝2，故选B.]图象的画法及应用【例2】

作出下列函数的图象并求出其值域．2y＝∈－＝∈[2＋∞)(3)＝＋2x∈[－2,2)．[]

列表

00

1－1

－22

3－3函数图象只是四个点(0,0)－1)(－，，－3)其值域为{，－1,2，－3}．ruizexx列表

21

3

4

525

……2当x∈[2，＋∞时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]列表

－20

－1－1

00

13

28画图象，图象是抛物线y＝2＋2在－2≤<2之间的部分．由图可得函数的值域为[－．描点法作函数图象的三个关注点函数的定义域，即在定义域内作图ruize3333义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线也可以是直线、折线、离散的点等2．画出下函数的图象：y＝＋x≤；y＝

－2x(>1，或<－．[]

y＝＋1(x≤示一条射线，图象如图①y＝2x＝(x－1)x>1，或x－是抛物线y＝x2－2x掉－≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.函数解析式的求法[探究问题]已知f(x的解析式，我们可以用代入法求(g))，反之，若已知f((x))，如何求f(x．提示：若已知f((x的解析式，我们可以用换元法或配凑法求()．【例3】

已知f＋1)＝x－2，则()＝；已知函数f(x是一次函数，若f(())＝x＋8，则f(x＝________已知函数f(x对于任意的x都有f(x－f(－)＝1＋2，则f(x＝________.[路点拨](1)换元法或配凑法求解用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．x2

8－4xx≥＋或－2x8(3)x1

[(1)法一换元法)：令t＝x＋1，则t≥1＝(t－代入原式有f(t)＝(－1)2－2(t＝t4＋3，f(x＝x2

－4x＋x≥1)．ruize333xxxxx333xxxxx法二配凑法)：(＋1)＝x＋2＋1－4x－4＋3＝(x＋2因为x＋1≥1，

－4(1)＋，所以f(x＝

－4x＋3(≥．设f()＝axba≠则f(f())＝f(ax＋b)＝aax＋b＋b＝a

2

x＋＋又f(f())＝4x＋8所以a

2

x＋＋b＝4＋8，＝4，即＋b＝8，

，解得8

＝－2或－8.8所以f(x＝2x＋f()＝－－8.由题意，在f()－2f(x＝1＋2中以－代x得f(－x－2f()1－2x，联立可得

2消去f(－x可得f(x＝－1.]1．变条件把本例(题干改为“已知函数f()是二次函数，且f(0)＝1，(＋－f(x＝2x.”求f(x)的解析式．[]

设f(x＝2

＋bx＋c，f(0)1＝1.又f(x＋＝ax＋2

＋b＋1)＋1，∴f(x＋－f()＝2ax＋a＋b.＝，由2ax＋a＋b＝2x，得＝，解得a＝1b＝－1.∴f(x＝－＋1.2．变条件把本例(题干改为“2f)＝(x≠”，求f(x的解析式．1[]f(x＋2f令x＝，1得f()＝ruizex1x1xxx1x1xx33于是得关于f(x与f组2x解得f(x＝－≠0)．求函数解析式的四种常用方法它的一般形式根据特殊值确定相关的系数即可.＝g代入fg代替两边所有的“g为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时务必保证函数在换元前后的等价性1．函数有种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与轴、y有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法消元法)，注意有的数要注明定义域1．思考析任何一个函数都可以用解析法表示．()函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()[案]

×

×2．已知函f(＋1)＝3x＋2，则f(x的解析式是)ruizeA．()＝3－1C．f()＝3＋2

B．()3＋1D．f)＝3＋4A

[＋1＝，＝t－1∴f(t)＝3(t－＋＝3t－1.∴f＝3－1.]3．已知函f()，g)别由下表给出．xf(x)xg)

4114

5325

61则gf(5))＝________f(g＝________.43

[题