微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解_第1页
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解_第2页
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解_第3页
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解_第4页
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解_第5页
已阅读5页,还剩10页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

...wd......wd......wd...第二章习题2-11.试利用本节定义5后面的注〔3〕证明:假设xn=a,那么对任何自然数k,有xn+k=a.证:由,知,,当时,有取,有,,设时〔此时〕有由数列极限的定义得.2.试利用不等式说明:假设xn=a,那么∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立.证:而于是,即由数列极限的定义得考察数列,知不存在,而,,所以前面所证结论反之不成立。3.利用夹逼定理证明:(1)=0;(2)=0.证:〔1〕因为而且,,所以由夹逼定理,得.〔2〕因为,而且,所以,由夹逼定理得4.利用单调有界数列收敛准那么证明以下数列的极限存在.(1)xn=,n=1,2,…;(2)x1=,xn+1=,n=1,2,….证:〔1〕略。〔2〕因为,不妨设,那么故有对于任意正整数n,有,即数列有上界,又,而,,所以即,即数列是单调递增数列。综上所述,数列是单调递增有上界的数列,故其极限存在。习题2-21※.证明:f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证:先证充分性:即证假设,那么.由及知:,当时,有,当时,有。取,那么当或时,有,而或就是,于是,当时,有,所以.再证必要性:即假设,那么,由知,,当时,有,由就是或,于是,当或时,有.所以综上所述,f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和;(2)设f(x)=,问常数a为何值时,f(x)存在.解:〔1〕因为x无限接近于0时,的值无限接近于a,故.当x从小于0的方向无限接近于0时,的值无限接近于0,故.〔2〕假设存在,那么,由〔1〕知,所以,当时,存在。3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.解:因为当时,的值在-1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。习题2-31.举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解:例1:当时,都是无穷小量,但由〔当时,〕不是无穷大量,也不是无穷小量。例2:当时,与都是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。例3:当时,是无穷小量,而是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。2.判断以下命题是否正确:(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量;(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量;(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量;(4)有限个无穷小量之和为无穷小量;(5)有限个无穷大量之和为无穷大量;(6)y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但xsinx≠∞;(7)无穷大量的倒数都是无穷小量;(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解:〔1〕错误,如第1题例1;〔2〕正确,见教材§2.3定理3;〔3〕错误,例当时,为无穷大量,是有界函数,不是无穷大量;〔4〕正确,见教材§2.3定理2;〔5〕错误,例如当时,与都是无穷大量,但它们之和不是无穷大量;〔6〕正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;〔7〕正确,见教材§2.3定理5;〔8〕错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。3.指出以下函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;(3)f(x)=,x→0+,x→0-;(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=,x→∞.解:〔1〕,即时,是无穷小量,所以是无穷小量,因而也是无穷大量。〔2〕从的图像可以看出,,所以,当时,时,是无穷大量;当时,是无穷小量。〔3〕从的图可以看出,,所以,当时,是无穷大量;当时,是无穷小量。〔4〕,当时,是无穷小量。 〔5〕当时,是无穷小量,是有界函数,是无穷小量。〔6〕当时,是无穷小量,是有界变量,是无穷小量。习题2-41.假设f(x)存在,g(x)不存在,问[f(x)±g(x)],[f(x)·g(x)]是否存在,为什么?解:假设f(x)存在,g(x)不存在,那么〔1〕[f(x)±g(x)]不存在。因为假设[f(x)±g(x)]存在,那么由或以及极限的运算法那么可得g(x),与题设矛盾。〔2〕[f(x)·g(x)]可能存在,也可能不存在,如:,,那么,不存在,但[f(x)·g(x)]=存在。又如:,,那么,不存在,而[f(x)·g(x)]不存在。2.假设f(x)和g(x)均存在,且f(x)≥g(x),证明f(x)≥g(x).证:设f(x)=A,g(x)=B,那么,分别存在,,使得当时,有,当时,有令,那么当时,有从而,由的任意性推出即.3.利用夹逼定理证明:假设a1,a2,…,am为m个正常数,那么=A,其中A=max{a1,a2,…,am}.证:因为,即而,,由夹逼定理得.4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准那么证明:假设x1=,x2=,…,xn+1=〔n=1,2,…〕,那么xn存在,并求该极限.证:因为有今设,那么,由数学归纳法知,对于任意正整数n有,即数列单调递增。又因为,今设,那么,由数学归纳法知,对于任意的正整数n有,即数列有上界,由极限收敛准那么知存在。设,对等式两边取极限得,即,解得,〔由极限的保号性,舍去〕,所以.5.求以下极限:(1);(2);(3);(4);(5).解:〔1〕原式=;〔2〕因为,即当时,是无穷小量,而是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得:;〔3〕而,;〔4〕;〔5〕.6.求以下极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11).解:〔2〕〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕;〔7〕;〔8〕〔无穷小量与有界函数之积为无穷小量〕;〔9〕;〔10〕〔11〕当时,是无穷小量,是有界函数,它们之积是无穷小量,即。习题2-5求以下极限(其中a>0,a≠1为常数〕:1.;2.;3.xcotx;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;.解:1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.8.令,那么,当时,,.9.〔利用了第8题结论〕;10.;11.;12.;13.令,那么,当,,;14.令,那么,当,,.习题2-61.证明:假设当x→x0时,(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0,那么当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是=0.证:先证充分性.假设=0,那么=0,即,即.也即,所以当时,.再证必要性:假设当时,,那么,所以==.综上所述,当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是=0.2.假设β(x)≠0,β(x)=0且存在,证明(x)=0.证:即.3.证明:假设当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),那么f(x)·g(x)=o(),其中a,b都大于0,并由此判断当x→0时,tanx-sinx是x的几阶无穷小量.证:∵当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)∴于是:∴当x→0时,,∵而当x→0时,,由前面所证的结论知,,所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.4.利用等价无穷小量求以下极限:(1)(b≠0);(2);(3);(4);(5);(6)(a≠b);(7);(8)设=100,求f(x).解(8)由,及知必有,即,所以.习题2-71.研究以下函数的连续性,并画出函数的图形:(1)f(x)=(2)f(x)=解:(1)∴f(x)在x=0处右连续,又∴f(x)在x=1处连续.又∴f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述,f(x)在[0,2]上连续.图形如下:图2-1(2)∴f(x)在x=1处连续.又故∴f(x)在x=-1处连续,x=-1是跳跃连续点.又f(x)在显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处连续,在上连续.图形如下:图2-22.说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?略.3.函数在其第二类连续点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.解:函数在其第二类连续点处的左、右极限不一定均不存在.例如是其的一个第二类连续点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.4.求以下函数的连续点,并说明连续点的类型:(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=;(4)f(x)=;(5)f(x)=.解:(1)由得x=-1,x=-2∴x=-1是可去连续点,x=-2是无穷连续点.(2)由sinx=0得,k为整数.∴x=0是跳跃连续点.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.∴x=2是无穷连续点,x=-2是可去连续点.(5)在x=0无定义故x=0是f(x)的可去连续点.5.适中选择a值,使函数f(x)=在点x=0处连续.解:∵f(0)=a,要f(x)在x=0处连续,必须.即a=1.6※.设f(x)=,讨论f(x)的连续性.解:所以,f(x)在上连续,x=0为跳跃连续点.7.求以下极限:(1);(2);(3)ln(x-1);(4)arcsin;(5)(lnx)x.解:习题2-81.证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.证:令,那么在[1,2]上连续,且,由零点存在定理知至少存在一点使得.即,即方程至少有一个介于1和2之间的根.2.证明方程ln〔1+ex〕-2x=0至少有一个小于1的正根.证:令,那么在上连续,因而在[0,1]上连续,且由零点存在定理知至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.3※.设f(x)∈C〔-∞,+∞〕,且f(x)=A,f(x)=B,A·B<0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论