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...wd......wd......wd...第二章习题2-11.试利用本节定义5后面的注〔3〕证明:假设xn=a,那么对任何自然数k,有xn+k=a.证:由,知,,当时,有取,有,,设时〔此时〕有由数列极限的定义得.2.试利用不等式说明:假设xn=a,那么∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立.证:而于是,即由数列极限的定义得考察数列,知不存在,而,,所以前面所证结论反之不成立。3.利用夹逼定理证明:(1)=0;(2)=0.证:〔1〕因为而且,,所以由夹逼定理,得.〔2〕因为,而且,所以,由夹逼定理得4.利用单调有界数列收敛准那么证明以下数列的极限存在.(1)xn=,n=1,2,…;(2)x1=,xn+1=,n=1,2,….证:〔1〕略。〔2〕因为,不妨设,那么故有对于任意正整数n,有,即数列有上界,又,而,,所以即,即数列是单调递增数列。综上所述,数列是单调递增有上界的数列,故其极限存在。习题2-21※.证明:f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证:先证充分性:即证假设,那么.由及知:,当时,有,当时,有。取,那么当或时,有,而或就是,于是,当时,有,所以.再证必要性:即假设,那么,由知,,当时,有,由就是或,于是,当或时,有.所以综上所述,f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和;(2)设f(x)=,问常数a为何值时,f(x)存在.解:〔1〕因为x无限接近于0时,的值无限接近于a,故.当x从小于0的方向无限接近于0时,的值无限接近于0,故.〔2〕假设存在,那么,由〔1〕知,所以,当时,存在。3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.解:因为当时,的值在-1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。习题2-31.举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解:例1:当时,都是无穷小量,但由〔当时,〕不是无穷大量,也不是无穷小量。例2:当时,与都是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。例3:当时,是无穷小量,而是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。2.判断以下命题是否正确:(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量;(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量;(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量;(4)有限个无穷小量之和为无穷小量;(5)有限个无穷大量之和为无穷大量;(6)y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但xsinx≠∞;(7)无穷大量的倒数都是无穷小量;(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解:〔1〕错误,如第1题例1;〔2〕正确,见教材§2.3定理3;〔3〕错误,例当时,为无穷大量,是有界函数,不是无穷大量;〔4〕正确,见教材§2.3定理2;〔5〕错误,例如当时,与都是无穷大量,但它们之和不是无穷大量;〔6〕正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;〔7〕正确,见教材§2.3定理5;〔8〕错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。3.指出以下函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;(3)f(x)=,x→0+,x→0-;(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=,x→∞.解:〔1〕,即时,是无穷小量,所以是无穷小量,因而也是无穷大量。〔2〕从的图像可以看出,,所以,当时,时,是无穷大量;当时,是无穷小量。〔3〕从的图可以看出,,所以,当时,是无穷大量;当时,是无穷小量。〔4〕,当时,是无穷小量。 〔5〕当时,是无穷小量,是有界函数,是无穷小量。〔6〕当时,是无穷小量,是有界变量,是无穷小量。习题2-41.假设f(x)存在,g(x)不存在,问[f(x)±g(x)],[f(x)·g(x)]是否存在,为什么?解:假设f(x)存在,g(x)不存在,那么〔1〕[f(x)±g(x)]不存在。因为假设[f(x)±g(x)]存在,那么由或以及极限的运算法那么可得g(x),与题设矛盾。〔2〕[f(x)·g(x)]可能存在,也可能不存在,如:,,那么,不存在,但[f(x)·g(x)]=存在。又如:,,那么,不存在,而[f(x)·g(x)]不存在。2.假设f(x)和g(x)均存在,且f(x)≥g(x),证明f(x)≥g(x).证:设f(x)=A,g(x)=B,那么,分别存在,,使得当时,有,当时,有令,那么当时,有从而,由的任意性推出即.3.利用夹逼定理证明:假设a1,a2,…,am为m个正常数,那么=A,其中A=max{a1,a2,…,am}.证:因为,即而,,由夹逼定理得.4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准那么证明:假设x1=,x2=,…,xn+1=〔n=1,2,…〕,那么xn存在,并求该极限.证:因为有今设,那么,由数学归纳法知,对于任意正整数n有,即数列单调递增。又因为,今设,那么,由数学归纳法知,对于任意的正整数n有,即数列有上界,由极限收敛准那么知存在。设,对等式两边取极限得,即,解得,〔由极限的保号性,舍去〕,所以.5.求以下极限:(1);(2);(3);(4);(5).解:〔1〕原式=;〔2〕因为,即当时,是无穷小量,而是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得:;〔3〕而,;〔4〕;〔5〕.6.求以下极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11).解:〔2〕〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕;〔7〕;〔8〕〔无穷小量与有界函数之积为无穷小量〕;〔9〕;〔10〕〔11〕当时,是无穷小量,是有界函数,它们之积是无穷小量,即。习题2-5求以下极限(其中a>0,a≠1为常数〕:1.;2.;3.xcotx;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;.解:1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.8.令,那么,当时,,.9.〔利用了第8题结论〕;10.;11.;12.;13.令,那么,当,,;14.令,那么,当,,.习题2-61.证明:假设当x→x0时,(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0,那么当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是=0.证:先证充分性.假设=0,那么=0,即,即.也即,所以当时,.再证必要性:假设当时,,那么,所以==.综上所述,当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是=0.2.假设β(x)≠0,β(x)=0且存在,证明(x)=0.证:即.3.证明:假设当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),那么f(x)·g(x)=o(),其中a,b都大于0,并由此判断当x→0时,tanx-sinx是x的几阶无穷小量.证:∵当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)∴于是:∴当x→0时,,∵而当x→0时,,由前面所证的结论知,,所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.4.利用等价无穷小量求以下极限:(1)(b≠0);(2);(3);(4);(5);(6)(a≠b);(7);(8)设=100,求f(x).解(8)由,及知必有,即,所以.习题2-71.研究以下函数的连续性,并画出函数的图形:(1)f(x)=(2)f(x)=解:(1)∴f(x)在x=0处右连续,又∴f(x)在x=1处连续.又∴f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述,f(x)在[0,2]上连续.图形如下:图2-1(2)∴f(x)在x=1处连续.又故∴f(x)在x=-1处连续,x=-1是跳跃连续点.又f(x)在显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处连续,在上连续.图形如下:图2-22.说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?略.3.函数在其第二类连续点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.解:函数在其第二类连续点处的左、右极限不一定均不存在.例如是其的一个第二类连续点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.4.求以下函数的连续点,并说明连续点的类型:(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=;(4)f(x)=;(5)f(x)=.解:(1)由得x=-1,x=-2∴x=-1是可去连续点,x=-2是无穷连续点.(2)由sinx=0得,k为整数.∴x=0是跳跃连续点.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.∴x=2是无穷连续点,x=-2是可去连续点.(5)在x=0无定义故x=0是f(x)的可去连续点.5.适中选择a值,使函数f(x)=在点x=0处连续.解:∵f(0)=a,要f(x)在x=0处连续,必须.即a=1.6※.设f(x)=,讨论f(x)的连续性.解:所以,f(x)在上连续,x=0为跳跃连续点.7.求以下极限:(1);(2);(3)ln(x-1);(4)arcsin;(5)(lnx)x.解:习题2-81.证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.证:令,那么在[1,2]上连续,且,由零点存在定理知至少存在一点使得.即,即方程至少有一个介于1和2之间的根.2.证明方程ln〔1+ex〕-2x=0至少有一个小于1的正根.证:令,那么在上连续,因而在[0,1]上连续,且由零点存在定理知至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.3※.设f(x)∈C〔-∞,+∞〕,且f(x)=A,f(x)=B,A·B<0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x
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