【学海导航】高考数学第一轮总复习 5.3向量的坐标运算（第1课时）课件 理 （广西专）

第五章平面向量向量的坐标运算第讲3（第一课时）考点搜索●平面向量的基本定理及坐标运算●向量平行的充要条件●向量的坐标运算与函数(包括三角函数)、解析几何的综合题高考猜想这一部分是向量的核心内容，高考的一个重要命题点.选择题、填空题重在考查数量积的概念、运算律、性质，向量的平行与垂直、夹角与距离等；解答题重在考查与几何、三角函数、代数等结合的综合题.一、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示.

相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.二、平面向量的坐标运算

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a±b=①_______________;2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=②______________;3.若a=(x，y)，则λa=③_________;4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件是④_____________.(x1±x2，y1±y2)(x2-x1，y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=0三、平面向量数量积的坐标表示

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=⑤_____________;2.若a=(x，y)，则|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦___________;3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=⑧____________；

4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⑨_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=05.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ=⑩________________.

1.对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_________.(只需写出一组值即可)

解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则令k3=1,则k2=2，k1=-4，所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.-4,2,12.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，则2a+3b=()A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)

解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故选C.C3.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b与a垂直，则λ=()A.-1B.1C.-2D.2

解：由于λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,

所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,

所以λ=-1，故选A.A题型1向量的坐坐标1.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线线段首尾尾相接能能构成四四边形，，求向量量d的坐标解：根据题题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即6a+4b-4c+d=0，所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).点评：坐标向量量的加减减运算，，按对应应的坐标标进行加加减运算算即可，，涉及到到已知起起点和终终点坐标标求向量量时，用用终点坐坐标减去去起点坐坐标即可可.点P在平面上上作匀速速直线运运动，速速度向量量v=(4，-3)(即点P的运动方方向与v相同，且且每秒移移动的距距离为|v|个单位长长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(5，-10)D.(10，-5)解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.D题型2向量的模2.已知向量a=(cos23°，cos67°°)，b=(cos68°，cos22°°)，求|a+tb|(t∈R)的最小值.解：由已知得a=(cos23°，sin23°°)，b=(sin22°，cos22°°)，所以|a|=|b|=1，a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°°=sin45°=.所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以当t=-时，|a+tb|min=.点评：坐标向量a=(x，y)的模是是一个非负负数，涉及到到三角函数式式的运算时，，注意先将三三角函数式化化简再求解.已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|的最大值.解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因为θ∈［π，2π］，所以所所以cos()≤1，所以|m+n|max=.已知a、b、c是同一平面内内的三个向量量，其中a=(1，2).(1)若|c|=，且c∥a，求c的坐标;(2)若|b|=，且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解：(1)设c=(x,y)，则|c|=又c∥a，则2x=y,所以或或所所以c=(2,4),或c=(-2,-4).题型3向量的平行与与垂直(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因为|b|=，|a|=，所以a·b=-所以所以a与b的夹角θ为135°.点评：两坐标向量的的平行(或垂直)的充要条件是是将向量运算算转化为实数数运算的依据据，注意平行行与垂直的充充要条件极易易弄错或混淆淆.1.建立平面向量量的坐标，基基础是平面向向量基本定理理.因此，对所给给向量应会根根据条件在x轴和y轴进行分解，，求出其坐标标.2.向量的坐标表表示，实际是是向量的代数数表示.在引入向量的的坐标表示后后，即可使向向量运算完全全代数化，将将数与形紧密密地结合了起起来.这样