【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用（第2课时）课件 理

第十二章极限与导数数学归纳法及其应用第讲1（第二课时）1题型3

用数学归纳法探求数列的通项公式1.已知数列{an}满足：a1=1，a2=

，an(an+1-1)=n(an+1-

an)(n≥2)，求数列{an}的通项公式.解：由已知可得因为a1=1，a2=

，所以

由此猜想：2证明:(1)当n=1时，结论成立.(2)假设当n=k时结论成立，即则当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立.综合(1)(2)知，数列{an}的通项公式是3点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的通项公式与前n项和公式的常用方法，也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型，应引起足够的重视.4数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2=

;当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3=

;当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,所以a4=

.由此猜想5(2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即那么当n=k+1(k≥1且k∈N*)时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以这表明n=k+1时，结论也成立.由①②知，猜想

成立.6题型4用数学归纳法探求数列的有关性质2.已知两个数列{an}、{bn}满足：a1=2，b1=-1，且an=an-1·b=，试推测an+bn的变化规律，并证明你的结论.解：当n=1时，a1+b1=1.因为所以a2+b2=1，…由此猜测：an+bn=1.证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.7(2)假设当n=k时，ak+bk=1，即bk=1-ak成立，则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1所以当n=k+1时，结论成立.综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1.故an+bn=1，为定值.8点评：探求数列中的有关性质，一般是先观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法来证明.9已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2，Sn为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在常数p，使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明你的理由.解：设数列{an}的公差为d(d≠0).由已知，得a2a8=a42，所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，则a1=d，所以an=nd.10(1)当n=1时，所所以以4a1S1=b1a4成立.(2)假设当n=k时，4a1Sk=bkak+3成立,即则11所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，即n=k+1时，有有4a1Sn=bnan+3成立.综合(1)(2)知，存存在常常数p=4，使对一一切n∈N*，都有pa1Sn=bnan+3成立.123.已已知知数列列{an}满足足:证明：：证法1：(1)当n=1时时，因为所以不不等式式成立立.(2)假设设当n=k时不等等式成成立，，即则题型5用数学学归纳纳法证证数列列不等等式13因为所以14所以即当n=k+1时时，不等式式成立立.综综合(1)(2)知知，对任意意n∈N*都成成立.证法2：(1)当n=1时，所以不等式式成立.当n=2时，所以不等式式成立.15(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成成立，即因为函数在［0，］］上是增函函数，所以16即所以当n=k+1时不等式成成立.综合(1)(2)知，对对任意n∈N*都成立.17证法3：(1)同证法1.(2)假设当n=k时，不等式式成立，即若若则若18则所以当n=k+1时，不等式式成成立.综合(1)(2)知，对任意n∈N*都成立.19点评：用数学归纳纳法证明不不等式的关关键是“变变形”，即即在归纳假假设的基础础上通过放放缩、比较较、综合等等证明不等等式的方法法，得到要要证明的目目标不等式式.20已知数列{an}的通项求证：证明：(1)当n=1时，所以不等式式成立.(2)假设n=k时，不等式式成立，即成成立.21则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式式成立.综合(1)(2)知，对任意意n∈N*，不等式都成成立.221.数学归纳法法原理类似似于“多米米诺骨牌游游戏”，其其实质是逐逐一验证对对一切从n0开始的正整整数，命题题都成立，，它是一种种从有限验验证无穷的的数学方法法.2.归纳法是推理理的方法，数数学归纳法是是证明的方法法，由归纳法法得出的结论论不一定正确确，只有用数数学归纳法证证明后才能确确定其真实性性.3.“归纳——猜想——证明”是求解解某些探索性性问题的一种种重要的思想想方法，它在在数列问题中中有着广泛的的应用，必须须熟练掌握.234.数学归纳法应应用中的存在在性问题，应应先取特殊值值，求得参数数取值，然后后再用数学归归纳法严格证证明，不需再再考虑参数其其他取值情况况.5.在用数学归纳纳法证明数列列不等式时，，需要从问题题要证的结论