正弦定理与余弦定理的应用同步练习

正弦定理与余弦定理的应用（1）同步练习海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B．10eq\r(6)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m \f(25\r(2),2)m3．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()A．450a元 B．225a元C．150a元 D．300a元4．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5 B．10C．10eq\r(2) D．10eq\r(3)5．一船以22eq\r(6)km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为()A．66km B．132kmC．96km D．33km6．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是________m.7．如图在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________．A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.

参考答案1.D如图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6).因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正弦定理可知，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m，选A.3.CS△＝eq\f(1,2)×20×30×sin150°＝eq\f(1,2)×20×30×eq\f(1,2)＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元，故选C.4.C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．∴坡底延长10eq\r(2)m时，斜坡的倾斜角将变为30°.如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，AB＝22eq\r(6)×eq\f(3,2)＝33eq\r(6)，由正弦定理eq\f(33\r(6),sin120°)＝eq\f(SB,sin45°)，∴SB＝66(km)．6.5eq\r(21)如图所示，塔高为OC，则∠OAC＝60°，∠AOB＝180°－30°＝150°，∠CBO＝45°，AB＝35，设电视塔高度为hm，则OA＝eq\f(\r(3),3)h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(eq\f(\r(3),3)h)2＋h2－2×eq\f(\r(3),3)h×h×(－eq\f(\r(3),2))，解得h＝5eq\r(21).7.eq\f(asinα·sinγ－β,sinγ－α)m在△PAB中，已知∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，AB＝a，由正弦定理可得PA＝eq\f(asinγ－β,sinγ－α)，在Rt△PAQ中，PQ＝PAsinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).8.【解析】在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),