二次函数的图象和性质培优教学案

...wd......wd......wd...二次函数的图象和性质〔培优教案〕一．课前训练1．抛物线上一局部点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示，那么以下说法中正确的选项是。〔填写序号〕…－2－1012……04664…yxO①抛物线与轴的一个交点为yxO②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴的左侧，随的增大而增大。2．假设二次函数的图象如以下列图，那么以下结论中正确的个数是()①；②；③；④。A.1B.2C.3D.4二．知识构造三．题型讲练例1．抛物线。⑴写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标；⑵当为何值时，抛物线的顶点在轴上方；⑶过抛物线与轴的交点作直线轴，交抛物线于另一点，当时，求此抛物线的解析式。分析：⑴考察配方法；⑵欲使抛物线顶点在轴上方，必使顶点纵坐标为正；⑶由直线轴可知两点的纵坐标相等，进而可以求出值。【解】⑴∵在中，二次项系数，∴开口向上，∵∴对称轴是直线，顶点坐标为。⑵∵欲使抛物线的顶点在轴上方，必使顶点的纵坐标为正数，∴令，那么，此时抛物线的顶点在轴上方⑶令，那么，∴抛物线与轴交于点∵直线轴，∴。令，那么，解得，，∴∴在中，，，∵，∴，∴∴抛物线的解析式为或。练习：1．右图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，那么以下结论中正确的选项是〔填写序号〕。①；②；③；④2．假设抛物线与轴的一个交点的坐标为，那么此抛物线与轴的另一个交点的坐标为。3．如图，抛物线经过点，与轴交于两点。⑴求的值；⑵如图①，设点为该抛物线在轴上方的一点，假设直线将四边形的面积二等分，试证明线段被直线平分并求此时直线的函数解析式；⑶设点是该抛物线在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点使得假设存在，请举例验证你的猜想；假设不存在，请说明理由。〔图②供选用〕【解】⑴∵抛物线经过点，∴，∴。⑵作于点，作于点，设与交于点∵直线将四边形的面积二等分，∴，即，∴∵，，∴，∴，∴线段被直线平分∵由⑴知，∴抛物线的解析式为∴令，那么，∴，，∴∵，∴点是线段的中点，∴，，∴设直线的解析式为，∵直线经过点和点∴，∴直线的解析式为⑶存在。设抛物线的顶点为，∵在中，∴以点为圆心、为半径作圆，与抛物线在轴的上方一定有交点〔即点〕，连接，再作的平分线，交抛物线于点，连接，此时由得。例2．抛物线与轴交于两点，其中且，与轴交于点。⑴求抛物线的解析式；⑵能否找到直线与抛物线交于两点且使轴恰好平分的面积假设能，求出满足的条件；假设不能，说明理由。【解】⑴令，那么有，∵∴对于一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，∵由根与系数的关系得…①，…②∴把①代入得…③，把③代入得…④，把③、④代入得化简整理得，解得，。当时，，与相符；当时，，与不符(舍去)∴抛物线的解析式为。⑵能，理由如下〔如图〕：假设符合题意的直线与轴交于点，∵，即，∴∵由题意知两点必在轴的两侧，∴，即∵由得……〔*〕∴一定是方程(*)的两根，∴，∴∵直线与抛物线有两个交点∴，即，解得∴且为所求。练习：1．抛物线与轴分别交于两点(其中)，那么以下结论中正确的选项是〔只需填写序号〕。①当时，；②当时，；③方程有两个不相等的实数根；④，；⑤。2．直线与轴交于点，与轴交于点；另一条抛物线的解析式为。⑴假设该抛物线经过点且抛物线的顶点在直线上，试确定抛物线的解析式；⑵过点作直线，交轴于点，假设抛物线的对称轴经过点，试确定直线的解析式。例3．如图，直线与抛物线交于点和点〔点在轴上〕，点是抛物线的顶点。⑴求的值及抛物线的解析式；⑵过线段上的动点〔与不重合〕作轴的垂线，与抛物线交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；⑶设点是直线与抛物线对称轴的交点，那么在线段上是否存在一点使得四边形是平行四边形假设存在，求出此时点的坐标；假设不存在，说明理由。【解】⑴∵点在直线上∴，∴，∴有直线∵点是抛物线的顶点∴设所求抛物线的解析式为∵点在抛物线上∴，∴，∴所求抛物线的解析式为⑵设两点的纵坐标分别为和，那么：〔其中〕⑶存在，理由如下：∵，∴欲使四边形是平行四边形，必使∵点在直线上且，∴令，那么∴，∴，∴∴令，即，解得(不合题意，舍去)，∵点在直线上，∴令，那么，∴∴当点的坐标为时，四边形是平行四边形。练习：1．抛物线。⑴假设抛物线与轴的交点分别在原点的两侧且，求的值；⑵设抛物线与轴交于点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点使得的面积等于，求的值。解:⑴设两点的坐标分别为、，那么分别是方程的两根。∴由根与系数的关系知，∵两点分别在原点两侧，∴，即，∴∵∴，解得，(与矛盾，舍去)∴的值为。⑵∵两点关于原点对称∴设两点的坐标分别为∵两点都在抛物线上∴∴①＋②：，∴∴当时才存在满足条件的两点，∴∴两点到轴的距离均为∴两点之间的水平距离为∵令，那么，∴点的坐标为，∴∵∴，解得2．抛物线恰好经过轴正半轴上的两点(点在点的左侧)且与轴交于点。⑴的符号之间有何关系⑵假设线段的长度是线段长度的比例中项，证明互为倒数；⑶在⑵的条件下，假设且，求的值。解:⑴时抛物线开口向上，由题意知此时抛物线与轴正半轴相交；时抛物线开口向下，由题意知此时抛物线与轴负半轴相交；综上所述，的符号之间的关系是：同号。⑵设两点的坐标分别为、，其中。∴，，。∵由题意知是方程的两根，∴∵由题意知，即，∴∵由⑴知，∴两边同时除以，得，即互为倒数。⑶当时，由⑵知，∴。解法一：∵，∴，∴，∴。解法二：∵点在点的左侧，∴，，∴∵，∴，∴，∴。四．课堂小结二次函数与几何的综合应用是历届中考的重点，应该认真深入的探究。五．作业布置1．假设二次函数的图象如以下列图，那么以下结论中不正确的选项是()A.B.C.D.关于的方程的根是。2．假设二次函数的图象如以下列图，那么以下结论正确的选项是()A.，，，。B.，，，。C.，，，。D.，，，。3．假设抛物线经过四点，那么与的大小关系是()A.B.C.D.不能确定4．假设二次函数的图象如以下列图，那么以下结论中错误的有()①；②；③当时，；④方程有两个大于的实数根。A.②③B.②④C.①③D.①④5．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点。⑴求该抛物线的解析式并判断的形状；⑵假设在轴上方的抛物线上存在一点使得以为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；⑶抛物线上是否存在点使得以为顶点的四边形是直角梯形如果存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由。解:⑴∵抛物线的图象与轴交于两点∴，∴，∴抛物线的解析式为∵抛物线与轴交于点，∴令，那么，∴点的坐标为∵在中，在中，∴，∴有。⑵点的坐标是。⑶存在，理由如下：∵由⑴知∴欲使以为顶点的四边形是直角梯形，只需或①假设，那么以为底边。∵直线与轴交于点，与轴交于点∴直线的解析式为，即∵，∴