超几何分布和二项分布的联系和区别

在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题

?什么时候用超几何分布的公式去好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教

从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!

m=min{M,n},且

C

CC

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的

次试验,且各次试验试验的结果相互独立,

次独立重复试验,其中

A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

次独立重复试验中,用

发生的次数,设每次试验中事件

C

p

p)n

服从二项分布,记作n

1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题

;二项分布中的概率计算实质上是2.计算公式超几何分布:在含有

件产品中,任取

件,其中恰有

件次品,则

C

CC

二项分布:在

次独立重复试验中,用

发生的次数,设每次试验中事件

C

p

p)n

(k=0,1,2,…,n),n

的总体数据”时,均为二项分布问题。比如

例.某批

2%,现从中任意地依次抽出

件进行检验,问:(1)当

时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到

(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

P(

P(

P(

P(

0.02.次品数

X~B(3,0.02),恰好抽到

×0.02×(1-0.02)=3×0.02×0.982≈0.057624。在不放回的方式抽取中,抽到的次品数是随机变量,X服从超几何分布,X

有关,所以需要分

时,产品的总数为

件,其中次品的件数为

500×2%=10,合格品的件数为

件,其中恰好抽到

C

C C

时,产品的总数为

件,其中次品的件数为

5000×2%=100,合格品的件数为4900.从

件,其中恰好抽到

C

C

C 时,产品的总数为件,其中次品的件数为50000×2%=1000,合格品的件数

49000.从

件,其中恰好抽到

C

C C (2)根据(1)的计算结果可以看出,当产品的总数很大时,超几何分布近似为二项分布.这也是可以理解的,当产品总数很大而抽出的产品较少时

,每次抽出产品后

,次品率近似不变

,这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外本题目也可以帮次试验中,某一事件服从二项分布;当这次试验是不放回摸球问题,事件

第二,在不放回的分布列近似于二项分布,并且随着的增加,这种近似的精度也增加。从以上分析可以看出两者之间的联系:当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布

1.(2016·漯河模拟)寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10

名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低

分,则称该人的幸福度为“幸福”

人,至少有

（2）以这

人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选

人,记ξ表示抽到“幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望先不要急于看答案,大家先自己解一下这道题再往下看,会有意想不到的收获哦

人,其他的有

人;记“从这

人,至少有

人是“幸福”,”为事件

A.由题意得P(

)

C

C

C

C

C

（2）ξ的可能取值为

0，1，2，3P(

CC

C

C

P(

C

C

C

C

P(

CC

C

CC

P(

C

[错解分析],按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选

人,所以可以近似看作是

立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理

人中“幸福”的人数有12

人;记“从这

人,至少有

人是“幸福”,”为事件

A.由题意得P(

)

C

C

C

C

C

P(

P(

P(

C

P(

P(

C

~

,错解中的期望值与正解中的期望值相等

,好多学生都觉得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?其实这还是由于前面解释过的原因

,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式：

件产品中,任取

件,其中恰有

件次品,随机变量Ⅹ服从超几何分布,超几何分布的期望计算公式为

nM

(可以根据组合数公式以及期望的定义推导);N

服从二项分布,记作

N

时,

M

p,此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题,近N似看作是有放回抽样问题,再次说明N

时,可以把超几何分布看作是二项分布。总结：综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。高考解题中,我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别

,以便能正确的解题,拿到满

的模拟试卷吧,快去找几道二项分布和超几何分布的概率大题试试吧,争取概率满分，加油！18.(本小题满分

为了调查观众对某电视娱乐节目的喜爱程度,某人在甲、乙两地各随机抽取了

分),现将结果统计如下图所示观众对该电视娱乐节目的喜爱程度;

,若从甲地观众中

人进行问卷调查,记问卷分数超过

E,求的分布列与数学期望（2）因为题中说：

0,1,2,3，

P(

P(

P(

C

P(

C

P(

E（X）=np= 18.(本小题满分

名考生的数学成绩,分成

的值;并且计算这

(Ⅱ)该学校为制定下阶段的复习计划,从成绩在[130,150]的同学中选出

座谈,记成绩在

m m

P

P

CC

C

CC

C

P

P

P

C C

E

.

18.(本小题满分

分)（2018

城市式创新,对于解决民众出行“最后一公

里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉 热捧.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵的

个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,若评分不低于

分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,并绘制出茎叶图如图。(1)请根据此样本完成下面的

2×2

列联表,并据此样本分析是否能在犯错的概率不超过10%的情况下认为交通拥堵与认可共享单车有关;

名用户,记

表示抽到用户为对此种交通方式“认可”的人数,求

n

K

,bdbd