正弦定理与余弦定理的应用设计2

正弦定理与余弦定理的应用教学设计教学目标1．通过实例说明解斜三角形在实际中的一些应用，特别是在解决测量问题中的应用．2．通过本节的学习，要使学生掌握用正弦定理与余弦定理解任意三角形的方法，懂得解任意三角形的知识在实际中有广泛的应用．3．经历用正弦定理、余弦定理解决测量问题的过程，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点1．能根据正弦定理，余弦定理的特点找到已知条件和所求边长的关系．2．灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度和边长的问题．教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教学课时第二课时教学过程：一、课题导入上一节课我们一起研究并解决了“测量底部不能到达的建筑物的高度”的问题．我们是通过分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，最后正确应用正弦定理和余弦定理来解决的．今天我们将继续来学习“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题．【设计思路】利用上节课所学的方法，放手让学生自主探究、分析，从定理运用的角度构造三角形．要让学生清晰地掌握对一个具体问题至少需要设置几个测量点，哪些元素（边或角）可测，哪些元素不可测，思考以下问题：构造一个三角形能否解决问题？构造多个三角形时，要注意所构造图形是立体图还是平面图，如何运用具有公共边的三角形进行已知元素与待求元素之间的转化二、讲授新课例1：如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D，4点都在水平面上，而且已经测得∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BDA=1CD=100m，求AB的长．（例

1

图形较为复杂，建议教师在讲课时把△ABC，△ACD和△BCD单独拿出来求解．）解析：由于A，B，C，D，4点都在水平面上，所以，因此所以在Rt△BCD中，．在△ACD中，因为∠CAD=

180°

—

45°

—

30°

—

45°

=

60°，所以由正弦定理可知因此AC=．在△ABC中，由余弦定理可知从而有AB=m．总结：求解三角形中与距离有关的问题时，若所求线段在一个三角形中，则直接用正弦定理、余弦定理求解；若所求的线段在多个三角形中，则依次选择或构造适当的三角形，再利用正弦定理、余弦定理求解．三、例题讲授例2：如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市

A的东偏南60°方向、距城市A

300

km的海面点P处，并以

20

km/h

的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．分析：首先提出问题：如何用数学语言描述城市A受台风影响？如有影响，如何用数学知识进行计算和表达？然后通过讨论等方法得到答案：城市与台风中心间距离小于等于台风半径，便受影响；影响时间为台风经过城市的时间差．解析：如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时AQ=100km．在△AQP中，有P=，且AP=300km，PQ=20xkm，因此由正弦定理可得从而可解得，所以Q=或Q=．当Q=时，A=，因此，；当Q=时，A=，因此，．这就说明，城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）．评析：例2

讲解时需帮助学生建立数学模型，让学生学会用数学的眼光看现实世界，再应用数学知识解决实际问题．四、课堂总结1．利用正、余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，对题意适当的分析并进行简化；2．解斜三角形时，对三角形的选择：（1）已知量和未知量全部集中在一个三角形中，要依次利用正弦定理或余弦定理解决；（2）已知量或未知量涉及两个或几个三角形时，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．3．本小节涉及的三个实际问题，一是不能到达底部的高度问题，二是不能到达的同一水平面上两点的距离问题，三是在运动变化过程中蕴含的解三角形的问题．对于这类问题要根据实