正弦定理与余弦定理的应用设计

正弦定理与余弦定理的应用教学设计教学目标1．能够运用正弦定理．余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2．通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性．教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法．教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教学课时第一课时教学过程：课题导入在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．【设计思路】“情境与问题”以故宫角楼的高度测量为背景，引人本小节的学习内容，有利于学生了解历史文化，增强学生的民族自豪感．使学生感受到生活中处处有数学．教材引入先给出实际问题，因为角楼顶端和底端都不方便到达，所以高度不能直接测量．然后给出米尺和测量角度的工具，让学生自己设计测量方案．在这个过程中，教师要引导学生把实际图形转化为数学图形．考虑到若一开始就求解“情境与问题”中A，B

不可到达的模型，对于学生可能有困难，不妨先让学生求解

A，B

两点可到达时的数学模型，再进一步变式为

A，B

两点不可到达时的数学模型．讲授新课上图中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？如图（1）所示，设线段

AB

表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置

C

进行测量．用测量角度的仪器可以测量出∠ACB

的大小，但是因为点

A，B

都不便到达，所以∠ABC

的3条边都无法用米尺测量．（2）如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点

D，并使得

CD

的长

m

能用米尺测量．用测量角度的仪器测出∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ACD=θ，∠ADC

=φ．然后，利用α，β，γ，θ，φ 以及m即可求出AB的长．首先，在△BCD中，因为∠CBD=-β-γ，所以，由正弦定理可得因此同理，从△ACD可得，最后在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以求出AB的长．教材中给出的方法可以认为是从

C

点横着走一段距离到达

D

点，思考：还有其他方法求出建筑的高度吗？若有，请设计另外一种方法．下面是提供一种参考方法：如右图所示，沿着BC

方向走一段距离到达

D点，用米尺测量出CD的长度为m．用测量角度的仪器测量出∠ACB=α，∠ADC=β．在△ADC中，∠CAD=

α-β，由正弦定理得因此，在Rt△ABC中可得三、例题讲授例1：在200m高的山顶A处，测得山下一塔顶B与塔底C的俯角分别是30°，60°，试求此塔的高度（测量仪器的高度忽略不计）．解析：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200×tan30°=在Rt△ABD中，AD=OC=∠BAD=30°,则BD=AD·tan∠BAD=×tan30°=所以BC=CD-BD=OA-BD=200-=所以，此塔的高度为米.例2：一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD．（tan8°≈，长度精确到m）解析：由正弦定理可得：所以在故山的高度约为1047米．【设计意图】在前面经历应用正弦定理、余弦定理解决实际问题——建筑物的高度之后，通过例1——一个竖直平面上的高度、例2——立体中的高度，逐步加深培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，增强学生利用数学解决实际问题的信心．课堂总结1．高度测量问题有以下两个关注点．（1）空间向平面的转化．高度测量问题往往是空间中的问题，为了方便观察，减小误差，需要将空间问题转化为平面问题．（2）解直角三角形与解斜三角形结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．