函数的基本性质

人教A版（2019）数学必修第一册函数的基本性质一、单选题1.下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为(

)A.

f(x)＝x2＋1

B.

f(x)＝1－

C.

f(x)＝x2－5x－6

D.

f(x)＝3－x2.下列函数为偶函数的是（

）A.

B.

C.

D.

3.若函数是奇函数，则=（

）A.

2

B.

C.

3

D.

44.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.

5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A.

B.

C.

D.

6.函数(

)A.

在上单调递增

B.

在上单调递增

C.

在上单调递减

D.

在上单调递减7.已知定义在R上的奇函数,当时,,那么当时,的解析式为（

）.A.

B.

C.

D.

8.函数y＝的单调递减区间为(

)A.

(－∞，－3]

B.

(－∞，－1]

C.

[1，＋∞)

D.

[－3，－1]9.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

10.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（

）A.

B.

C.

D.

11.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数m满足，则m的取值范围是（

）A.

B.

C.

（0，2）

D.

12.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（

）A.

或

B.

或

C.

或

D.

或13.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

14.是定义在上的减函数，则的范围是(

)A.

B.

C.

D.

二、填空题15.已知一个奇函数的定义域为[a+1，b-2]，则=________.16.已知，若，则________.17.奇函数

在区间上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则________18.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为________．19.函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（）+f（）=________．三、解答题20.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．（1）画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调区间；（2）求函数在上的解析式．21.已知函数的图像经过点（1）求的值并判断的奇偶性；（2）判断并证明函数在的单调性，并求出最大值.22.定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求实数a的取值范围．23.已知函数．（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．24.已知定义在R上的函数满足：①对任意，，有.②当时，且.（1）求证：是奇函数；（2）解不等式.

答案解析部分一、单选题1.答案：B解：A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B符合题意．故答案为：B【分析】根据函数单调性的定义，结合基本初等函数的单调性逐一判断即可.2.答案：B解：当时,,所以为偶函数,为非奇非偶函数函数,与为奇函数.故答案为：B【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.3.答案：B解：因为函数是奇函数所以即得，.故答案为：【分析】由函数是奇函数，则构造方程，解得的值.4.答案：A解：由于的零点是，且在直线两侧左减右增，要使函数在上是单调函数，则，解得，故答案为：A.【分析】根据的零点和性质列不等式，解不等式求得的取值范围.5.答案：D解：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D符合题意.故答案为：D.【分析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.6.答案：D解：函数的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上一个单位而得到，所以函数在上单调递减，故答案为：D【分析】根据分式函数的性质即可得到结论.7.答案：D解：设,则,∵∴.故答案为：D【分析】根据奇函数的定义,可以直接写出当时,的解析式.8.答案：A解：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．

故答案为：A

【分析】利用偶次根式函数的定义域和二次函数的图象的对称性以及复合函数的单调性，确定复合函数的单调递减区间。9.答案：C解：根据题意，函数，当时，，在区间，上是减函数，不符合题意；当时，，若在区间，上不单调，必有对称轴或解可得：，即的取值范围为.故答案为：C．【分析】根据题意，分两种情况讨论：当时，，易得此时不符合题意；当时，，结合二次函数的性质分析求出的取值范围，综合即可得答案．10.答案：A解：∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵，∴，又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）．∴．故答案为：A．【分析】由于对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，即可得出．11.答案：C解：由题意，函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，函数在上单调递减，，，解得，即.故答案为：【分析】根据函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，可得函数在上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得12.答案：D解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣2）＝0，∴f（2）＝0，∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．故答案为：D．【分析】由对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．13.答案：A解：当时，恒成立，所以恒成立，即函数在上单调递增，又因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，若要满足，即，解得，故答案为：A．【分析】求得函数在上单调递增，又由函数的图象关于直线对称，得到在上单调递减，从而根据函数不等式列出相应的不等式，即可求解．14.答案：B解：要使得在上是单调减函数需满足，解得故答案为：B.【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到的范围.二、填空题15.答案：解：根据题意，函数f（x）是奇函数，且其定义域为[a+1，b-2]，则有a+1+b-2＝0，解可得：a+b＝1，，故答案为：．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a+1+b-2＝0，即可得答案．16.答案：1解：令g（x）＝ax3+bx，则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．故答案为：1【分析】令g（x）＝ax3﹣bx，根据奇函数的定义即可求出答案．17.答案：17解：∵函数f（x）在[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，∴f（3）＝-1，最小值为f（6）＝8，

∵f（x）是奇函数，∴f（-3）+2f（6）=-f（3）+2f（6）=1+2×8=17

故答案为：17【分析】根据奇函数在对称区间上单调性一致，判断出区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f（﹣6）＝1，最小值为f（﹣3）＝﹣8，代入即可得到答案．18.答案：解：当时，，所以，又f（x）是R上的奇函数，所以，所以，所以，即，做出和的图像如下图所示，不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由得所以，由得，所以，所以不等式的解集为.故答案为：.【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式，在同一坐标系中做出和的图像，求出交点的坐标，根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.19.答案：解：由③，令x=0，则f（1）=1﹣f（0）=1，由②，令x=1，则f（）=f（1）=，，，，，，．

由③，令x=，则f（）=，，，，，，．

∵，∴f（）=．

∴f（）+f（）=．

故答案为：．

【分析】由条件求出f（）,f(

)=

f(

)=,再结合及非减函数概念得f（），则答案可求.三、解答题20.答案：解：（1）如图所示：的单调递减区间为：，单调递增区间为：，（2）令则所以又函数为偶函数，即所以当时所以【分析】（1）根据偶函数关于轴对称，即可画出函数在轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间。（2）已知时的解析式，只需计算出的解析式，根据则与即可使用时的解析式解出的解析式。21.答案：解：（1）由于函数过点，故，所以.函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.

（2）函数在上递增，证明如下：任取，则，由于，所以，所以函数在上递增，且最大值为.【分析】（1）利用点列方程，解方程求得的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数在上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值