向量数量积的运算律学案

8.【学习目标】1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)【核心素养】1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.【新知探究】1.两个向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c2.重要公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量数量积公式：(a±b)2＝__________.[提示](1)a2－b2；a2－b2(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b【小试身手】1.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C．]2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是()A．0 B．aC．b D．cB[b·c＝|b||c|cos45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝()A．2 B．2eq\r(3)C．6 D．12D[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×124．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正确的序号是________．①③④[根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]利用向量数量积的运算律计算【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝________.(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝eq\r(3)e1－e2，b＝e1＋λe2.①若a⊥b，求实数λ的值；②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．(1)18[在平行四边形ABCD中，得eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)).由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝0⇒eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→)).所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝－2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝2|eq\o(AP,\s\up8(→))||eq\o(AB,\s\up8(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝2|eq\o(AP,\s\up8(→))|2＝18.](2)[解]①由a⊥b,得a·b＝0，则(eq\r(3)e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得eq\r(3)eeq\o\al(2,1)＋eq\r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq\o\al(2,2)＝0，eq\r(3)－λ＝0，所以λ＝eq\r(3).②因为eq\r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos〈eq\r(3)e1－e2，e1＋λe2〉＝eq\f(1,2)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)e1－e2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋λe2))＝eq\r(3)eeq\o\al(2,1)＋eq\r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq\o\al(2,2)＝eq\r(3)－λ，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)e1－e2))eq\s\up8(2))＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝2，|e1＋λe2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋λe2))eq\s\up8(2))＝eq\r(\o(e\o\al(2,1)＋2λe1·e2＋λ2e\o\al(2,2)))＝eq\r(1＋λ2)，∴eq\r(3)－λ＝2×eq\r(1＋λ2)×cos60°＝eq\r(1＋λ2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).利用向量数量积的运算律计算的注意事项1计算λa＋μb·λa＋μb，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.2三个实数的积满足结合律abc＝abc＝acb，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：a·b·c＝a·b·c＝a·c·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.1.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3eq\o(OA,\s\up8(→))＋4eq\o(OB,\s\up8(→))＋5eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝()A．eq\f(8,5)B．eq\f(7,5)C．－eq\f(1,5)D．eq\f(4,5)C[由3eq\o(OA,\s\up8(→))＋4eq\o(OB,\s\up8(→))＋5eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，得5eq\o(OC,\s\up8(→))＝－3eq\o(OA,\s\up8(→))－4eq\o(OB,\s\up8(→))，两边平方，得25eq\o(OC,\s\up8(→))2＝9eq\o(OA,\s\up8(→))2＋16eq\o(OB,\s\up8(→))2＋24eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))，因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))，即eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0.所以eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)(5eq\o(OC,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)(－3eq\o(OA,\s\up8(→))－4eq\o(OB,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)(－3eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＋3eq\o(OA,\s\up8(→))2－4eq\o(OB,\s\up8(→))2＋4eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,5).]利用平面向量的数量积证明几何问题【例2】如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.[思路探究]借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝0完成证明．[证明]设此等腰直角三角形的直角边长为a，则eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up8(→))＋\o(AE,\s\up8(→))))＝eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a2＋0＋a·eq\f(2\r(2),3)a·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(a,2)·eq\f(2\r(2),3)a·eq\f(\r(2),2)＝－a2＋eq\f(2,3)a2＋eq\f(1,3)a2＝0.所以AD⊥CE.利用向量法证明几何问题的方法技巧1利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.2进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.3将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.2.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DE,\s\up8(→))|，如图所示，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(BE,\s\up8(→))；(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|eq\o(AF,\s\up8(→))|；若不存在，请说明理由．[解](1)根据题意得：eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a，∴eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝b－eq\f(2,3)a；(2)结论：在线段BC上存在使得4|eq\o(BF,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|的一点F满足AF⊥BE，此时|eq\o(AF,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(,21),4).理由如下：设eq\o(BF,\s\up8(→))＝teq\o(BC,\s\up8(→))＝tb，则eq\o(FC,\s\up8(→))＝(1－t)b，(0≤t≤1)，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝a＋tb，∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos60°＝eq\