【全程复习方略】（广东专用）年高考数学 第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教A

第五节数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a叫做_____，b叫做_____.实部虚部(2)分类：满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数⇔____a+bi为虚数⇔_____a+bi为纯虚数⇔b=0b≠0(3)复数相等：a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的长度叫做复数z=a+bi的模，记作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).|z||a+bi|(3)复数相等：a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的长度叫做复数z=a+bi的模，记作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).2.复数的几何意义(1)复平面：建立___________来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_____,y轴叫做_____，实轴上的点都表示_____；除了原点外，虚轴上的点都表示_______.(3)复数的几何表示：复数z=a+bi复平面内的点______平面向量.直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数Z(a,b)3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多项式乘法进行，并把i2换成-1(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i运算名称符号表示语言叙述除法=(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律:①交换律：z1+z2=_____；②结合律：(z1+z2)+z3=_________.z2+z1z1+(z2+z3)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)方程x2+x+1=0没有解.()(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()【解解析析】】(1)错错误误.在在实实数数范范围围内内，，方方程程x2+x+1=0没没有有实实数数解解；；但在在复复数数范范围围内内，，此此方方程程有有解解，，且且解解为为x=.故故不不正正确确.(2)错错误误.根根据据复复数数的的概概念念，，在在复复数数z=a+bi(a,b∈∈R)中中，，虚虚部部应应为b.故故不不正正确确.(3)错错误误.只只有有当当两两个个复复数数都都为为实实数数时时，，它它们们才才能能比比较较大大小小，，其其他情情况况不不能能比比较较大大小小.故故不不正正确确.(4)正正确确.原原点点在在实实轴轴上上，，也也在在虚虚轴轴上上.故故正正确确.(5)正正确确.根根据据复复数数的的几几何何意意义义可可知知此此结结论论正正确确.答案案:(1)××(2)××(3)××(4)√√(5)√√1.已已知知a∈∈R，，若若(1－－ai)(3＋＋2i)为为纯纯虚虚数数，，则则a的的值值为为()(A)-(B)(C)-(D)【解解析析】】选A.(1－－ai)(3＋＋2i)＝＝(3＋＋2a)＋＋(2－－3a)i为为纯纯虚虚数，，故故得得a＝＝－－.2.复复数数(i是是虚虚数数单单位位)的的实实部部是是()(A)(B)-(C)(D)-【解解析析】】选A.，，实实部部为为.3.若若a，，b∈∈R，，i为为虚虚数数单单位位，，且且(a＋＋i)i＝＝b＋＋i，，则则()(A)a＝＝1，，b＝＝1(B)a＝＝－－1，，b＝＝1(C)a＝＝1，，b＝＝－－1(D)a＝＝－－1，，b＝＝－－1【解解析析】】选C.由(a＋i)i＝＝b＋i，得得：－1＋ai＝b＋i，根据复数数相等得：a＝1，b＝＝－1.4.已知i为为虚数单位，，则复数z＝＝对对应的点位位于()(A)第一象象限(B)第二象象限(C)第三象象限(D)第四象象限【解析】选C.z＝,故复数对对应的点为()，位位于第三象限限.5.设z1是复数，z2＝z1－i(其其中表示示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为_______.【解析】设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有有x－y＝－－1，则y－－x＝1.答案:1考向1复数的概念【典例1】(1)(2012·江西西高考)若复复数z=1+i(i为虚虚数单位),是z的共轭复复数，则的的虚部为()(A)0(B)-1(C)1(D)-2(2)(2012·湖南南高考)已知知复数z=(3+i)2(i为虚数单单位)，则|z|=________.(3)(2012·江苏苏高考)设a,b∈R，，a+bi=(i为虚数数单位)，则a+b的值值为_______.【思路点拨】】【规范解答】】(1)选A.因为z=1+i，所所以=1-i，∴=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚虚部为0.(2)由条件件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,∴|z|==10.答案:10(3)∵a+bi===5+3i，∴a=5,b=3,∴a+b=8.答案:8【互动探究】】本例题(3)的条件不变变，结论改为为“则复数z=a+bi的共轭复数数=_____”.结果如何？？【解析】由本例题(3)的解题过过程可得z=5+3i，，所以=5-3i.答案:5-3i【拓展提升】】解答复数概念念题的关注点点(1)复数的的分类及对应应点的位置问问题都可以转转化为复数的的实部与虚部应该满满足的条件问问题，解题时时只需把复数数化为代数形形式，确定出实实部、虚部即即可．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈∈R)的模|z|＝，，实际上就是是指复平面上的点点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义义是复平面上的点Z1,Z2之间的距离．．【变式备选】】(1)若复数数(a∈R，，i为虚数单单位)是纯虚虚数，则实数数a的值为()(A)-2(B)4(C)-6(D)6【解析】选C.=.∵复数是是纯虚虚数,∴∴∴a=-6.(2)已知a∈R，复数数z1＝2＋ai，，z2＝1－2i，，若为纯纯虚数，则复复数的虚部为______.【解析】.∵为纯纯虚数，∴∴∴a＝1,∴∴=1,故的虚虚部为1.答案:1考向2复数的几何意意义【典例例2】】(1)在复复平面面内，，向量量对对应的的复数数是2＋＋i，，向量对对应应的复复数是是－1－3i，，则向向量对对应应的复复数是是()(A)1－－2i(B)－1＋2i(C)3＋＋4i(D)－3－4i(2)(2013··惠州州模拟拟)设设z1=3-4i,z2=-2+3i，，则z1+z2在复平平面内对应应的点点位于于()(A)第一一象限限(B)第二二象限限(C)第三三象限限(D)第四四象限限(3)(2013··大同同模拟拟)已已知f(x)=x2,i是是虚数数单位位，则则在复复平面面内复数数对对应应的点点在()(A)第一一象限限(B)第二二象限限(C)第三三象限限(D)第第四象象限【思路路点拨拨】(1)根据据复数数加法法的几几何意意义求求解．．(2)求z1+z2，由实实部、、虚部部确定定点所所在象象限.(3)求出出复数数，，再再判断断对应应的点点所在在的象象限.【规范范解答答】(1)选D.向向量对对应应的复复数是是2＋＋i，，则对对应的的复数数是－－2－－i，，∵，，∴对对应的的复数数是(－1－3i)＋(－2－i)＝＝－3－4i.(2)选D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i,对应点点为(1，，-1)，，∴在在第四四象限限.(3)选A.，，故复数数对应应的点点是()，，在第第一象象限.【拓展展提升升】对复数数几何何意义义的理理解及及应用用(1)复数数z、、复平平面上上的点点Z及及向量量相相互联联系，，即z＝a＋bi(a，，b∈∈R)⇔Z(a，b)⇔⇔.(2)由于于复数数、点点、向向量之之间建建立了了一一一对应应的关关系，，因此此可把复数数、向向量与与解析析几何何联系系在一一起，，解题题时可可运用用数形形结合合的方法法，使使问题题的解解决更更加直直观.【变式式训练练】(1)已知知i是是虚数数单位位，则则复数数z=i+2i2+3i3所对应应的点点落在在()(A)第一一象限限(B)第第二象象限(C)第三三象限限(D)第第四象象限【解析析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，对应的的点是是(-2,-2)，，故选选C.(2)已知知复数数的的对应应点在在复平平面的的第二二、四四象限限的角角平分线上上，则则实数数a=______.【解析析】已知复复数=-1-(a+1)i,由题意意知a+1=-1，，解得得a=-2.答案:－2考向3复数代代数形形式的的四则则运算算【典例例3】】(1)(2012··辽宁宁高考考)复复数=()(A)(B)(C)(D)(2)(2012··安徽徽高考考)复复数z满足足：(z-i)(2-i)=5,则z=()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i(3)若z=cosθθ+isinθθ(i为为虚数数单位位)，，则使使z2=1成成立的的θ值值可能是是()(A)(B)(C)(D)ππ【思路路点拨拨】(1)将复复数进进行分分母实实数化化，根根据复复数代代数形形式的四则则运算算法则则计算算.(2)将等等式化化简，，根据据复数数代数数形式式的四四则运运算法法则进进行计计算.(3)先求求出z2，再根根据条条件得得到关关于θθ的三三角函函数关关系式式，验验证求解解即可可.【规范范解答答】(1)选A.(2)选D.(z-i)(2-i)=5⇔⇔z-i=⇔⇔z=i+=2+2i.(3)选D.z2=(cosθθ+isinθθ)2=cos2θ+isin2θ=1,∴cos2θ=1,sin2θθ=0,∴∴θ=kππ,k∈Z,经经验证证知选选项D成立立.【拓展展提升升】1.复复数四四则运运算的的解答答策略略复数的的加法法、减减法、、乘法法运算算可以以类比比多项项式的的运算算，除除法的的关键键是分分子分分母同同乘以以分母母的共共轭复复数，，解题题中要要注意意把i的幂幂写成成最简简形式式．2.几个常常用结论在进行复数数的代数运运算时，记记住以下结结论，可提提高计算速速度.(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i.(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈∈N*.【变式训练练】(1)(2012··天津高考考)i是虚虚数单位，，复数=()(A)2+i(B)2-i(C)-2+i(D)-2-i【解析】选B.=2-i.(2)复数数z＝1＋＋i，为为z的共轭轭复数，则则z·－－z－1＝＝()(A)－2i(B)－i(C)i(D)2i【解析】选B.依题题意得z··－z－－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋＋i)－1＝－i，，选B.【创新体验验】复数中的新新定义问题题【典例】(2013·广州模模拟)在实实数集R中中，我们定定义的大小小关系“＞＞”为全体体实数排了了一个“序序”．类似似地，我们们在复数集集C上也可可以定义一一个称为““序”的关关系，记为为“＞”．．定义如下下：对于任任意两个复复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R)，z1＞z2当且仅当““a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．按上述定义义的关系““＞”，给给出如下四四个命题：：①若z1＞z2，则|z1|＞|z2|；②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3；③若z1＞z2，则对于任任意z∈C，z1+z＞z2+z；④对于复数数z＞0，，若z1＞z2，则zz1＞zz2.其中所有真真命题的个个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4【思路点拨拨】【规范解答答】选B.对于于复数z1=2+i,z2=1-3i显然满足足z1＞z2，但|z1|=,|z2|=，，不满满足|z1|＞|z2|，故①不不正确；设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1＞z2,z2＞z3可得“a1＞a3”或“a1=a3且b1＞b3”，故②正正确；设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，，由z1＞z2可得“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．显然然有“a1+a＞a2+a”或或“a1+a=a2+a且b1+b＞b2+b”，，从而z1+z＞z2+z.故故③正确确；对于复数数z1=2+i,z2=1-3i显然然满足z1＞z2，令z=1+i，则zz1=(1+i)(2+i)=1+3i，zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,显然不满满足zz1＞zz2，故④错错误.综上②③③正确，，故选B.【思考点点评】1.方法法感悟:本题体现现了类比比方法的的运用，，即通过过类比的的方式，，给出了了复数中中与实数数类似的的结论，，借以考考查阅读读理解和和应用新新知识解解决问题题的能力力.这种种类比的的方法在在数学中中可以帮帮助我们们得到一一些新的的结论.2.技巧巧提升:利用复数数与实数数的类比比来命题题是一个个新的考考查方向向，主要要以给出出新概念念或新运运算为主主，用来来考查学学生的阅阅读理解解、应用用新知识识解决问问题的能能力.从从实质上上看，此此类问题题考查的的还是基基础知识识和基本本技能，，解题的的关键是是抓住新新概念或或新运算算的特征征，对所所给的新新信息进进行分析析，并且且将所给给信息与与所学知知识相结结合.1.(2013·湛江江模拟)已知a是实数数,i是是虚数单单位，若若是是纯纯虚数，，则a=()(A)1(B)-1(C)(D)-【解析】】选A.，，由题题意知是纯虚数