导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

D．,D．,C．)(导选题构函解等的类一、单选题．定义在上的函数的导函数为

′

(，若对任意实数，有(𝑥)>′，且(𝑥)+为奇函数，则不等式(+

𝑥

<0的解为A．−0)

B．

11𝑒𝑒设数′(是奇函数𝑥)(∈的导函数𝑓(=0当<0时𝑓′(𝑓(𝑥)𝑥

，则使得(>成立的的取值范围是（）A．−−1)∪C．∪

B．−−1)∪(D．+．义在上的偶函数(的导函数′(，若对任意的正实数，都有𝑥)𝑥′(2恒成立A．−−1)

2

𝑥)<𝑥B．

2

−1成立的实数的取范围）CD．{𝑥≠．知函数()

定义在数集，上的偶函数，当>0时恒有𝑥

()>−()

，且(2)=0，则不等式(>0的解集为()A．，C．，−∪，

B．−∪+D．，∪+．定义在)

上的函数()

满足′<1+，0)=，则不等式)>𝑥𝑥+1的解为（）A．−)

B．(

C．(+∞

D．)．定义在上的函数=()

满足任意都有(𝑥+2)−()

，且∈

(()1(时′)

𝑥

)4)2(的大小关系是（）A．

()()()

B．

()()()C．

()((

D．

()())．知偶函𝑓满足𝑓(𝑓

′

(，=2，则(>3−

的解2集为A．{𝑥𝑥>2C．{𝑥>1

B．{<<D．{<<定在上的函数满足>1−𝑓

′

(𝑥),=𝑓

′

(是(的导函数，则不等式𝑒

𝑥

𝑥)>𝑥−1（其e为自然对数的底数）的解集为()A．(

B．

C．

(∪+D．(1,+知定义在上的函数=)

的导函数为

′)

足()′)

0)2，则不等式()𝑒

𝑥

的解集为（）A．−)

B．(+∞)

C．(−)

D．2,+10．定在0,+

上的函数f(x)满足𝑓

′)+1𝑓(2)=，则不式𝑥)𝑥0的集为A．

B．(0,)

C．(+)

D．ln2,1)知定义在上的函数(满足𝑓

′

(−𝑓(<

中

′

(

是函数(𝑥)的导函数．若𝑚−>(−

，则实数𝑚

的取值范围为（）A．

B．+

C．+

D．

11．已知函数f(x)是定义在上的可导函数，且对于∈，均()>f有（）A．e

f(f(0)，f

fB．e2017

f－f(0)，ff(0)C．

f(f，f

f(0)D．e

f－f(0)，f

f(0)知导函数(的定义为导数

′

(满足′𝑥)−𝑥)0,则不等式+𝑥)(−1)<的解为A．

(

B．

(

C．

(D．(．函数是义在区间(0,+上的可导函数，其导函数为′(，且满𝑥′(+𝑥)等式(+

2

𝑥+<的解集）A．𝑥|𝑥>}

B．𝑥|𝑥}C．𝑥|−<𝑥<}

D．𝑥|−<<0}知函数()

的导数是=𝑓′)

若(+∞)

都有𝑓()<()成立，()B．(1)<A．√>2)D．(1)>(2C．3(2)．已知函数(满足条件：𝑥>0时𝑥)+𝑥𝑓2确的是（）A．(1)+3(2B．2)+3>4(4)C．1)+8(3)D．(2)+4<3(4)

′

(，则下列不等式正

𝜋𝜋𝜋𝜋D．3)𝑓()𝜋𝜋𝜋𝜋D．3)𝑓()C．)6)√√23．定义(上的函数𝑓2成则有（）

′

(是它的导函数，且恒′(𝑥)·A．√2

)𝑓()B．√)>43𝜋𝜋𝜋𝜋4663．已知函数(是偶函数𝑥)=𝑔(−，且𝑥≠2时其导函数′(满足(2)′(0，若𝑎3，则（）A．

𝑎

)<𝑓(3)<𝑎)3

B．

𝑓(3)𝑎)<𝑎)3C．𝑎)𝑓(3)<

𝑎

)

D．𝑓(log<3

𝑎

)𝑓(3)函数′(是奇函数𝑥)(∈的导函数>时𝑓′(<

1𝑥

，则使得𝑥

2

−4)𝑥)>0成立的的取值范围（）．(−2,0)D．(−2)∪

．((2,

．(−2,0)(2,

𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)′𝑓𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)′𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)参考答案．B【解析析】构造函数(，则得(的单调性，再根𝑓𝑥)+为奇函数得，转化不等式为(，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数(，则𝑔

′

(=

𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)

<0，所以(在上单独递减，因为𝑓𝑥)+为奇函数，所以+0∴𝑓(0)因此不等式(𝑥)𝑒

𝑥

<0等价于𝑥)，即>，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造构造助函数常根据导数法则进行：如𝑓

′

(𝑓(构造𝑔(=

𝑓(𝑥)

，

′

(+𝑓(0构造(𝑒

𝑥

𝑓(𝑓

′

(𝑓(构造𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)𝑥

，𝑓

′

(+𝑓(<0构造𝑥)𝑥𝑓(等．A【解析】分析：构造函数)=

)𝑥

，首先判断函数的奇偶性，利用𝑓′(可𝑥断<时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果详解：设)=

)𝑥

，则)

的导数为′()=

𝑥𝑓′)𝑓()

，因为𝑥0时𝑓′(，𝑥即()()

成立，所以当0时，′()

恒大于零，

()()()()∴当时函数)

)𝑥

为增函数，又𝑔−)

−)−𝑥

=

)𝑥

=𝑔)

，∴函数)

为定义域上的偶函数，当>时，函数)=

)𝑥

为减函数，又𝑔−1)=

−1)−1

=0∴函数)的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式𝑓())>0，?

𝑥>0𝑥0或，𝑔𝑥0𝑥<0可得𝑥1或<，使得𝑓𝑥)0成的的取值范围是−∪，故A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题.联已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状变不等式形状；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．A【解析】【详解】分析构造新函数(=𝑥

2

𝑓(−𝑥

2

利用导数确定它的单调性从而可得题中不等式的解．详解(𝑥

2

𝑓(−𝑥

2

′(𝑥𝑓(𝑥

2

𝑓2=𝑓(𝑓𝑥)−

𝑓(𝑥𝑓(𝑥)𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)，由已知𝑥0时′(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑥′(20，在+∞)上是函数，又∵𝑓(是函数，∴𝑥)=𝑥

2

𝑥)𝑥

2

也是偶函数，𝑔(0)0，不等式

2

𝑥)−<𝑥

2

−1即为

2

𝑥)𝑥

2

<1，即(𝑥)，∴|，∴|>1，即<𝑥>．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如

𝑥)𝑥，𝑥)

𝑓(𝑥)𝑥

，=𝑒

𝑥

，𝑥)=

𝑓(𝑥)

等等．．B【解析】分析：设=

𝑓(𝑥)𝑥

，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设(，所以𝑥)=，𝑥因为当0时，有𝑥𝑓′(𝑥)−𝑥)0恒成立，所以当0时′(0，所以𝑔(在+上递增，因为𝑓𝑥)𝑓(，以𝑥)=

𝑓(−𝑥)−𝑥

=，所以𝑔(是奇函数，所以(在(上递增，因为0，所以𝑔

𝑓(2)2

=0，当>时，𝑥)0等于

𝑓(𝑥)𝑥

>0，所以(𝑥)>

，以>2，当<时，𝑥)0等于

𝑓(𝑥)𝑥

<0，所以(𝑥)<−2)，所以，所以原不等式的解集为−∪+，选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系得相应的结果在求<0时的情况的时候，可以直接根据函数(是偶函数求得结果．B

=又=又【解析】分析：根据题意，设()=)−𝑥−，对其求导分析可得𝑔()

在区间()上递减，利用(0)的值可得0)的值，进而将原不式转化为)𝑔0)，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案详解：根据题意，设))−𝑥，则′)𝑓

′

()−−，又由函数(

定义在−1,+∞)

上，且有

′

()<1，则

′

()𝑓

′

()−𝑥−1<0，则)

在区间∞)

上递减，若(0)1，则0)(0)−−0=，()>𝑥+(𝑥𝑥)𝑔(0)，则1<𝑥，即不等式的解集为).故选：点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数

𝑔)=()−𝑥−，并分析单调性．C【解析】根据题，数()满任意∈𝑅都有(𝑥)=−()，则(𝑥4)(𝑥+2)=(

，则()

是周期的函，有()=(4),()(1),(=(2)设)=

)𝑥

则导数为′)

)?𝑥−𝑓()?)′𝑥𝑓′()−()由(

时，𝑓′)

)𝑥

，则有′))<0，则有′()

𝑥𝑓′()−()

<0，则函数𝑔)在0,4]上为减函数，则有1)>𝑔2)4)，即1)

22

>

44

，又由()4),)=(),((2)

，则有()>

(

>

，2

4变形可得4)>2()>，故选

【方法点睛利用导数研究函数的单调性造函数比较大小属于难题联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状；②若是选题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.．C【解析】【分析】构造函数)=𝑥

2

)−3𝑥

2

+1，由2𝑥)+𝑥

′

(>可得()

在0,)

递增，结合奇偶性转化原不等式为||>从而得结果【详解】由()>3−

12

得

2

−3

2

+10，令)=𝑥

2

)321，′)=2)+𝑥

2

′()−6=[2)+𝑥()−6]

，∴𝑥>0时，′()0,)

递增，又1)=1)−2=0,时，不等式𝑥)>3−

12

等价于∵)

是偶函数，()

()>(1)也是偶函数，||>可得1或<，

11所以𝑓𝑥)3−

的解集为𝑥|1或−1}2

，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则属于难题求解类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状变换不等式形状；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.．B【解析】【分析】构造函数𝑔)=𝑒

𝑥

)𝑒

𝑥

，𝑥∈)，研究)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设)=𝑒

𝑥

)𝑒

𝑥

，𝑥∈)，则

′)𝑥()+𝑥′)−𝑥𝑒

𝑥

[(+′)−1]则

′)0，𝑦=𝑔)

′)>1−()∵𝑓∴)+𝑓′)−10在定义域内单调递增∵𝑥()>𝑥−1，∴𝑔)>，𝑔0)=(0)0=−1∴𝑔)>𝑔0)

，>0则不等式的解集为，+故选

1111【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。．A【解析】分析：先构造函数𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)

，再根据函数单调性解不等式.详解：令(

𝑓(𝑥)

，因为

′

(=

𝑓

′

(𝑥)𝑓(𝑥)

<0，𝑔(0)=2所以𝑓𝑥)2𝑒

𝑥

?𝑔(𝑥)>𝑥<因此解集为，选点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造构造助函数常根据导数法则进行：如𝑓

′

(𝑓(构造𝑔𝑥)

𝑓(𝑥)

，𝑓′+𝑓(0构𝑔(=𝑥𝑓(′𝑥)𝑓(构造𝑥)=

𝑓(𝑥)𝑥

𝑓

′

(+𝑓(0构造(𝑥)=𝑥𝑓(等．C【解析】【分析】构造函数𝑔=𝑓(+，可得

′

(=𝑓

′

(>0，𝑔(在0𝑥

，）上单调递增，原不等式等价于(𝑒【详解】设(𝑓(+ln，

𝑥

)>，利用单调性可得结果由𝑓

′(1>0可得

′

(=𝑓

′

(+>，𝑥所以(在（0，∞）上单调递增，又因为𝑓(2)0，

𝑓(𝑥)𝑓(𝑥𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)不等式(𝑒

𝑥

)𝑥>0等价于𝑥)=𝑥+𝑥>，因此

𝑥

>2，𝑥>，即等式(𝑒

𝑥

)𝑥>0的解集为(ln2,+)

，故选【点睛】利用导数研究函数的单调性构造函数比较大小,于难题联系已条件和结论造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的形状变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数11．【解析】【分析】根据题意，构造函(𝑥)，𝑥∈+，用数研究其单调性，可ℎ𝑥)在𝑥单调递减，将2𝑚−(−−>，转化为𝑓(𝑚−2018)𝑚−2018

>

𝑓(2)2

，即(>，从而可得实数的取值范围.【详解】令(𝑥)=，𝑥，则𝑥

′

(𝑥)=

𝑥𝑓

′

(𝑥)𝑓(𝑥)

∵𝑓

′

(𝑥)−𝑥)<0∴

′

(𝑥)0∴函数(𝑥)在(+∞)上单调减

∴>，∴>，∵𝑚(−，𝑚−0𝑓(𝑚−2018)𝑓(2)𝑚−20182

，即(∴−<2且>0，解得𝑚<.∴实数的取值范围为．故选D．【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用𝑥𝑓𝑓(𝑥)𝑥

′

(𝑥)<”和𝑚−>(−的系构造函数𝑥)=．D【解析】【分析】构造函数)=

)

，由()>′(可得函数)=

()

在上调递减，利用单调性可得结果【详解】构造函数)=

)

，则′()=

𝑓′)𝑒

(𝑒)′()(𝑥)

=

𝑓′)−)因为∈，均有)𝑓′)

，并且

𝑥

>0,∴𝑔′()，故函数()=

)

在上单调递减，(>0),𝑔)𝑔0)

，即

𝑓(−2017)𝑒

>，

𝑓(2017)𝑒

<即

2017

)>(0),()<𝑒

2017

0)

，故选D.【点睛】利用导数研究函数的单调性构造函数比较大小,于难题联系已条件和结论造

𝑓(𝑥)2𝑓(𝑥)2辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的形状变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．B【解析】【分析】构造函数(，将不等式转化为+𝑥)𝑔(，再根(定义域2及单调性化简求解【详解】令(

𝑓(𝑥)2

,𝑥<0∴𝑔

′

(

𝑥

2

𝑓

′

(−𝑓(𝑥𝑓=4

′

(−2𝑥)3

<0因为𝑓+𝑥)−(

𝑓(<0，所以2017+𝑥)

2

+𝑥)(2017+<因为(在(单调递减，所以

2017𝑥<02017𝑥<0?+𝑥)<−1)2017𝑥>

?𝑥<−2017，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造构造助函数常根据导数法则进行：如𝑓

′

(𝑓(构造𝑔(=

𝑓(𝑥)

，

′

(+𝑓(0构造(𝑥𝑓(，′𝑥)<𝑓(构造𝑔(=

𝑓(𝑥)𝑥

，

′

(+𝑓(<0构造𝑥)𝑥𝑓(等

2222．C【解析】分析：由题意构造函数𝑥)=𝑥

2

求导可知函数是区间(+上增函数，把原不等式转化为+<，结合+>求得x的范围.详解：[𝑥

2

𝑥)]

′

=2𝑓(

2

𝑓

′

(=𝑓(+𝑥

′

(𝑥)],𝑥

′

(+2𝑥)>𝑥∴[

2

𝑥)]

′

>0,则函数(𝑥)=𝑥

2

是区间上的增函.由不等式𝑥+

𝑥+2018)<，得𝑥4，解x<-2014，又由𝑥+，得x-2018，即x(-2018,-2014)故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.．D【解析】分析：由题意构造函)=

)2

(𝑥>)

，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果详解：令)=

)2

(𝑥>0)

，则：′()=

𝑓′)×𝑥

𝑓()𝑥

=

𝑥𝑓′()𝑓()3

，由∈(0,

，都有𝑓′)2()

成立，可得′()在区间0,+∞)

内恒成立，即函数()是区间0,+内单调递减，据此可得：1)>2)，即

12

>

(22

，则(1)>2)本题选择D选项点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之

11中某数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作.因对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功．C【解析】【分析】令)=𝑥

(2

，得到)

在0,递增，有1)<(3，从而得到答案．【详解】构造)=𝑥

2

)−𝑥

2

𝑔

′)𝑥?(()+𝑥?𝑓2

′)−>0在∈(∞)恒成立，)在+∞上是增函数，1<3∴𝑔1)𝑔3得(1)(3)故选.【点睛】

，本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）

f（x）-x

是解题的关键，属中档题．．D【解析】【分析】：先构造=𝑓

′)−𝑓(·tan的原函数𝑥)𝑐𝑥，由题意，得出原函数𝑥)𝑐𝑠单增函数，由此判断函数值的大小。【详解】

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋√3𝜋𝜋√2𝜋𝜋1𝜋𝜋𝜋𝜋1𝜋𝜋𝜋√𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋√𝜋𝜋𝜋𝑎33𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋√3𝜋𝜋√2𝜋𝜋1𝜋𝜋𝜋𝜋1𝜋𝜋𝜋√𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋√𝜋𝜋𝜋𝑎33：先构造=𝑓

′)−𝑓(·的函数，为x∈)，则𝑠𝑥>0，那么在不等2式两边同时乘以𝑜𝑥不号变，𝑓

′)−)𝑡𝑛𝑥）=𝑓

′(−()𝑖𝑥[𝑥)𝑜𝑠′>0，所以函数x)=𝑥)𝑐𝑠单函数，此)6g)g1))，4

3g))，()=

)，g)，1)=(1)𝑐𝑠1，所以6

2

64

2

4323g)g)?𝑓()<𝑓()?√2()<𝑓(，以A错4

3

2

4

2

3

4

3g)g1)?6

√32

𝑓()𝑐(1)?√𝑓()，所以B错66g)g)?64

√32

𝑓()62

𝑓()?2()6)，所以C错446故选D。【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种1）构造满足题目条件的特殊函数）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。．B【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函的图象关于直线=2对称，再通过讨论导数的符号得到函数𝑓(的单调性，将4，𝑜𝑔上进行比较大小详解