【优化方案】高考数学总复习 第5章§5.3等比数列精品课件 理 北师大

§5.3等比数列

§5.3等比数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．等比数列的相关概念及公式相关名词等比数列{an}的相关概念及公式定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．同一个常数相关名词等比数列{an}的相关概念及公式通项公式an＝_______等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成________，那么称G为a、b的等比中项，且有G＝________.前n项和公式

Sn＝

a1qn－1等比数列思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.2．等比数列的性质(1)等比数列{an}满足________________时，{an}是递增数列；满足_________________时，{an}是递减数列．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积____．特别地，若项数为奇数时，还等于______的平方．(3)对任意正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则___________.特别地，若m＋n＝2p，则________.相等中间项am·an＝ap·aq思考感悟2．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a，b满足的条件是什么？课前热身1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·a7等于(

)A．3

B．6C．9 D．18答案：C2．(2011年南阳调研)设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为(

)A．80 B．81C．54 D．53答案：A3．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为(

)A．2 B．3C．4 D．8答案：A4．(教材习题改编)设{an}是等比数列，a1＝2，a8＝256，则a2＋a3＝________.答案：125．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则Sn＝________.答案：2n－1考点探究•挑战高考考点突破考点一等比数列的判定及证明例1(2009年高考全全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：：数列{bn}是等比数数列；(2)求数列{an}的通项公公式．【思路点拨拨】本题第(1)问将an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以以得到an的递推式式，再由由bn＝an＋1－2an代入即证证；第(2)问将bn的通项公公式代入入bn＝an＋1－2an，可得an的递推式，再再依照题型模模式求解即可可．【解】(1)证明：由已知知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．．考点二等比数列中基本量的计算等比数列基本本量的计算是是等比数列中中的一类基本本问题，解决决此类问题的的关键是熟练练掌握等比数数列的有关公公式，并灵活活运用，在运运算过程中，，还应善于运运用整体代换换思想简化运运算的过程．．尤其要注意意的是，在使使用等比数列列的前n项和公式时，，应根据公比比q的情况进行分分类讨论．例2(1)(2010年高考江西卷卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n(2)(2010年高考辽宁卷卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6【思路点拨】根据题意，建建立关于首项项a1和公比q的方程组求解解．【答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评】等比数列中有有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程程(组)求解．变式训练1数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列．．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范围；；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通项公式．．考点三等比数列的前n项和及其性质等比数列的性性质可以分为为三类：一是是通项公式的的变形，二是是等比中项的的变形，三是是前n项和公式的变变形，根据题题目条件，认认真分析，发发现具体的变变化特征即可可找出解决问问题的突破口口．例3(2011年南阳调研)在等比数列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前前n项和和Sn＝126，(1)求公公比比q；(2)求n.【思路路点点拨拨】根据据等等比比数数列列的的性性质质，，a2·an－1＝a1·an，由由此此可可得得关关于于a1、an的方方程程，，结结合合Sn＝126可求求得得q和n.考点四等比数列的综合问题在解解决决等等差差、、等等比比数数列列的的综综合合题题时时，，重重点点在在于于读读懂懂题题意意，，而而正正确确利利用用等等差差、、等等比比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式及及前前n项和和公公式式是是解解决决问问题题的的关关键键．．例4【思路路点点拨拨】对于于(1)，根根据据an与Sn的关关系系可可求求得得k的值值，，从从而而得得到到{an}的通通项项公公式式；；对对于于(2)，可可先先求求出出{bn}的通通项项公公式式，，然然后后用用错错位位相相减减法法求求出出Tn，再再结结合合Tn的单单调调性性证证明明不不等等式式．．【失误误点点评评】本题题易易弄弄不不清清“错位位相相减减”的项项数数而而致致使使解解答答错错误误．．解：：(1)因为为对对任任意意的的n∈N＋，点点(n，Sn)均在在函函数数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为为常常数数)的图图像像上上．．所所以以得得Sn＝bn＋r，当n＝1时，，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因因为为{an}为等等比比数数列列，，所所以以r＝－－1，公公比比为为b，所所以以an＝(b－1)bn－1，方法法感感悟悟方法法技技巧巧2．方方程程观观点点以以及及基基本本量量(首项项和和公公比比a1，q)思想想仍仍然然是是求求解解等等比比数数列列问问题题的的基基本本方方法法：：在在a1，q，n，an，Sn五个个量量中中，，知知三三求求二二．．(如例例2)3．等等比比数数列列的的性性质质是是等等比比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式以以及及前前n项和和公公式式等等基基础础知知识识的的推推广广与与变变形形，，熟熟练练掌掌握握和和灵灵活活应应用用这这些些性性质质可可以以有有效效、、方方便便、、快快捷捷地地解解决决许许多多等等比比数数列列问问题题．．(如例例3)4．解解决决等等比比数数列列的的综综合合问问题题时时，，首首先先要要深深刻刻理理解解等等比比数数列列的的定定义义，，能能够够用用定定义义法法或或等等比比中中项项法法判判断断或或证证明明一一个个数数列列是是等等比比数数列列；；其其次次要要熟熟练练掌掌握握等等比比数数列列的的通通项项公公式式与与前前n项和和公公式式，，能能够够用用基基本本量量方方法法和和等等比比数数列列的的性性质质解解决决有有关关问问题题．．(如例例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.失误误防防范范1．把把等等比比数数列列与与等等差差数数列列的的概概念念和和性性质质进进行行类类比比，，可可以以加加深深理理解解，，提提高高记记忆忆效效率率．．注注意意三三点点：：(1)等比比数数列列的的任任何何一一项项都都不不能能为为0，公公比比也也不不为为0；(2)等比比数数列列前前n项和和公公式式在在q＝1和q≠1的情情况况下下是是不不同同的的；；(3)等比比数数列列可可看看作作是是比比等等差差数数列列高高一一级级的的运运算算，，一般般等等差差数数列列中中的的“和”、“差”、“积”形式式类类比比到到等等比比数数列列中中就就变变成成“积”、“商”、“幂”的形形式式．．2．由由an＋1＝qan，q≠0，并并不不能能立立即即断断言言{an}为等等比比数数列列，，还还要要验验证证a1≠0.考情分析考向瞭望•把脉高考等比比数数列列是是每每年年高高考考必必考考的的知知识识点点之之一一，，考考查查重重点点是是等等比比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式、、性性质质、、前前n项和和公公式式，，题题型型既既有有选选择择题题、、填填空空题题，，也也有有解解答答题题，，难难度度中中等等偏偏高高．．客客观观题题主主要要考考查查对对基基本本运运算算，，基基本本概概念念的掌掌握握程程度度；；主主观观题题考考查查较较为为全全面面，，在在考考查查基基本本运运算算，，基基本本概概念念的的基基础础上上，，又又注注重重考考查查函函数数与与方方程程、、等等价价转转化化等等思思想想方方法法．．预测2012年高考考，等等比数数列的的定义义、性性质、、通项项公式式、前前n项和公公式仍仍是考考查重重点，，应特特别重重视等等比数数列性性质的的应用用．规范解解答例(本题满满分12分)(2010年高考考四川川卷)已知等等差数数列{an}的前3项和为为6，前8项和为为－4.(1)求数列列{an}的通项项公式式；